专题16：坐标系与参数方程-备战2021年高考数学（文）三轮复习查缺补漏特色专题

专题16：坐标系与参数方程知识点和精选提升题（解析版） 知识点: 极坐标直角坐标互化 点M 直角坐标 极坐标 互化公式 参数方程：直线参数方程： 为直线上的定点， 为直线上任一点 到定点 的数量； 圆锥曲线参数方程：圆的参数方程： (a,b)为圆心，r为半径； 椭圆 的参数方程是 ； 双曲线 的参数方程是 ； 抛物线 的参数方程是 极坐标与直角坐标互化公式： 若以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，点P的极坐标为 ，直角坐标为 ，则 , , , 。 一、解答题 1．在直角坐标系xOy中，曲线C1： (α为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2：ρ2＝4ρcos θ－3. （1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程； （2）若曲线C1与C2交于A，B两点，A，B的中点为M，点P(0，－1)，求|PM|·|AB|的值． 【答案】（1）曲线 : ；曲线 ： ；（2）3． 【分析】 （1）利用参数方程和极坐标方程化为普通方程和直角坐标方程的公式即可求解； （2）将两圆的方程作差可得直线AB的方程，与圆C2联立，转化为关于t的一元二次方程，由参数的几何意义及韦达定理求解． 【详解】 （1）曲线 的普通方程为 ． 由 ，得曲线 的直角坐标方程为 ． （2）将两圆的方程 与 作差得直线AB的方程为 ． 点P(0，－1)在直线AB上，设直线AB的参数方程为 (t为参数)， 代入 化简得 ，所以 因为点M对应的参数为 ＝ ， 所以|PM|·|AB|＝ ·|t1－t2|＝ × ＝ × ＝3. 2．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin ＝ . （1）求圆O和直线l的直角坐标方程； （2）当θ∈(0,π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标. 【答案】（1）x2＋y2－x－y＝0，x－y＋1＝0；（2） . 【分析】 （1）根据极坐标与直角坐标的关系 ，即可写出圆O和直线l的直角坐标方程； （2）联立圆O和直线l方程求交点，将其转化为极坐标即可. 【详解】 （1）圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， ∴圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0， 直线l： ，即ρsin θ－ρcos θ＝1， ∴直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0. （2）由 得 故直线l与圆O公共点的一个极坐标为 . 3．已知圆 和圆 的极坐标方程分别为 ， ． （1）求两圆的直角坐标方程； （2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 【答案】（1） ， ；（2） 【分析】 （1）将 两边同时平方得 ，将 展开得后整理得： ，再将 ， ， 代入两个极坐标方程即可得直角坐标方程； （2）将两个圆的直角坐标方程相减可得经过两圆交点的直线的直角坐标方程，再将 ， 代入即可得极坐标方程. 【详解】 （1）由 得 ，因为 ， 所以圆 的直角坐标方程为 ， 由 得 ， 即 ， 因为 ， ，所以 ， 所以圆 的直角坐标方程为 ， （2）两个圆的直角坐标方程相减得： ， 即 ，转化为极坐标方程为： ， 即 ， 所以过两圆交点的直线的极坐标方程为： 4．在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）写出直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程； （2）求直线 被曲线 截得的弦长. 【答案】（1） ， ；（2） . 【分析】 （1）利用消参法即可得直线的普通方程，根据极坐标与直角坐标的关系即可得曲线C的方程； （2）由（1）知曲线C为圆，根据圆的性质，结合点线距离公式，即可求弦长. 【详解】 （1）由直线 的参数方程 ( t为参数 可得其普通方程为： ； 由曲线 的极坐标方程 得 ，所以曲线 的直角坐标方程为： . （2）由（1）得曲线 ： ，圆心 到直线 的距离为： ， 所以直线 被曲线 截得的弦长为： . 5．已知曲线 （t为参数且 ），直线l的极坐标方程为 ． （1）求曲线C和直线l的直角坐标方程； （2）若P为曲线C上一点，求P到直线l距离的最小值． 【答案】（1） ； ；（2） . 【分析】 （1）利用直角坐标与参数方程、极坐标方程的互化公式； （2）用点到直线的距离公式. 【详解】 （1）由 ， 两边平方作差得： ； 由 ，且 ，得 ． （2）设 ，由点到直线的距离公式可知： ． 当且仅当 时，取等号． 【点睛】 此题考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程之间的互化；参数方程的应用． 6．在极坐标系下，已知圆 ： 和直线 ： . （Ⅰ）求圆 的直角坐标方程和直线 的极坐标方程； （Ⅱ）求圆 上的点到直线 的最短距离． 【