专题7极坐标与参数方程知识点与20道针对大题（培优题）-2021年高考数学极坐标与参数方程中必考知识专练

专题7极坐标与参数方程知识点与20道针对大题（培优题）（解析版） 一、极坐标系 在平面上取一个定点 ，由点 出发的一条射线 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点 称为极点， 称为极轴.平面上任一点M的位置可以由线段 的长度 和从 到 的角度 (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示). 这两个实数组成的有序实数对 称为点M的极坐标. 称为极径， 称为极角. SHAPE \* MERGEFORMAT 二、极坐标与直角坐标的互化 设 为平面上的一点，其直角坐标为 ，极坐标为 ，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立: 或 （对 也成立）. 三、极坐标的几何意义 ——表示以 为圆心， 为半径的圆； ——表示过原点(极点)倾斜角为 的直线， 为射线； 表示以 为圆心过 点的圆. (可化直角坐标: EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 .) 四、直线的参数方程 直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为 ，其中 为直线的倾斜角)，代人点斜式方程: ,即 . 记上式的比值为 ,整理后得 , 也成立，故直线的参数方程为 ( 为参数， 为倾斜角，直线上定点 ，动点 ， 为 的数量，向上向右为正(如图16-33所示). SHAPE \* MERGEFORMAT 五、圆的参数方程 若圆心为点 ，半径为 ，则圆的参数方程为 . 六、椭圆的参数方程 椭圆 的参数方程为 （ 为参数， ）. 七、双曲线的参数方程 双曲线 的参数方程为 EMBED Equation.DSMT4 . 八、抛物线的参数方程 抛物线 的参数方程为 （ 为参数，参数 的几何意义是抛物线上的点与顶点连线的斜率的倒数）. 1．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ． （1）求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程； （2）设点 是曲线 上的动点，求点 到直线 距离的最值． 【答案】(1) ， , ;(2)最大值为 ，最小值为 . 【分析】 (1)直接利用二倍角公式和 即可把 的参数方程化为普通方程；用 可把直线的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)可以直接用直角坐标方程，利用解析几何知识求解；也可以利用参数方程求最值. 【详解】 解：（1）由曲线 ： ， 由 ，则曲线 的普通方程为 ， ， 由 ： ，则 ， 则直线 的直角坐标方程为 （2）方法1：设 ： ，由 ， 由 ， 则 ： ，则 与 的距离 ， 由 ，则点 到直线 的距离 ， 综上： 点到直线 距离的最大值为 ，最小值为 方法2：设点 ， ，则 ， 由 ， ，则 ， 则 综上： 点到直线 距离的最大值为 ，最小值为 ． 【点睛】 (1)参数方程与普通方程的互化通常用 ；极坐标方程与直角坐标方程的互化通常用 ； (2)极坐标问题可以直接利用直角坐标方程,利用解析几何知识求解； (3)有时根据题意， 利用极径和极角的几何意义或利用参数方程可以简化一些原来解析几何中运算量较大的题目的运算量． 2．在直角坐标系 中，已知过点 的直线 的参数方程是 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； （2）若直线 和曲线 交于 ， 两点，且 ，求实数 的值. 【答案】（1） ； ；（2）1. 【分析】 （1）用消参法得直线的普通方程，由 可化极坐标方程为直角坐标方程； （2）把直线参数方程代入圆的直角坐标方程，由判别式 得参数 的取值范围，设点 ， 对应的参数分别为 ， ，由韦达定理得 ，而 ，结合已知可求得 ． 【详解】 （1）由 得 即 由 得 则曲线 的直角坐标方程为 ，即 （2）把 代入 ， 得 由 得 设点 ， 对应的参数分别为 ， ，则 因为 ，所以 当 时，且 （舍） 当 时， 所以综上 ． 【点睛】 关键点点睛：本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，在直线参数方程中，若过 的直线 的参数方程是 （ 为参数）， 实际上是直线的倾斜角），直线上任一点 对应的参数为 ，则 ．用具有这种几何意义的直线的参数方程可解决直线与曲线相交的线段长问题． 3．平面直角坐标系xOy中，曲线 的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 （1）求曲线 的普通方程与 的直角坐标方程; （2）求 上的动点到 距离的取值范围.