专题16：推理与证明-备战2021年高考数学（理）三轮复习查缺补漏特色专题

专题16：推理与证明知识点和精选提升题（解析版） 一、推理 1.推理 ：前提、结论 2.合情推理: 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类： （1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理. （2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理. 3.演绎推理: 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。 重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明 题型1 用归纳推理发现规律 1、观察： ； ； ；….对于任意正实数 ，试写出使 成立的一个条件可以是 ____. 点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故 2、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂 巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图 有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以 表示第 幅图的蜂巢总数.则 =_____; =___________. 【解题思路】找出 的关系式 [解析] EMBED Equation.3 【名师指引】处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系 题型2 用类比推理猜想新的命题 [例]已知正三角形内切圆的半径是高的 ，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______. 【解题思路】从方法的类比入手 [解析]原问题的解法为等面积法，即 ，类比问题的解法应为等体积法， 即正四面体的内切球的半径是高 【名师指引】（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比 （2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等 二、直接证明与间接证明 三种证明方法: 综合法、分析法、反证法 反证法：它是一种间接的证明方法.用这种方法证明一个命题的一般步骤： 假设命题的结论不成立； (2) 根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止 (3) 断言假设不成立 (4) 肯定原命题的结论成立 重难点：在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中，选择好证明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题 考点1 综合法 在锐角三角形 中,求证: [解析] 为锐角三角形， ， 在 上是增函数， 同理可得 ， 考点2 分析法 已知 ,求证 [解析]要证 ，只需证 即 ，只需证 ，即证 显然 成立，因此 成立 【名师指引】注意分析法的“格式”是“要证---只需证---”，而不是“因为---所以---” 考点3 反证法 已知 ，证明方程 没有负数根 【解题思路】“正难则反”，选择反证法，因涉及方程的根，可从范围方面寻找矛盾 [解析]假设 是 的负数根，则 且 且 ，解得 ，这与 矛盾， 故方程 没有负数根 【名师指引】否定性命题从正面突破往往比较困难，故用反证法比较多 数学归纳法 一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数N的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤: (1)证明当n=n0时命题成立; (2)假设当n=k（）时命题成立,证明n=k+1时命题也成立. 在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法. 考点1 数学归纳法 题型：对数学归纳法的两个步骤的认识 [例1 ] 已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（ 且为偶数）时命题为真，，则还需证明（ ） A.n=k+1时命题成立 B. n=k+2时命题成立 C. n=2k+2时命题成立 D. n=2（k+2）时命题成立 [解析] 因n是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k+2，故选B 【名师指引】用数学归纳法证明时，要注意观察几个方面：（1）n的范围以及递推的起点（2）观察首末两项的次数（或其它），确定n=k时命题的形式 （3）从 和 的差异，寻找由k到k+1递推中，左边要加（乘）上的式子 考点2 数学归纳法的应用 题型1：用数学归纳法证明数学命题 用数学归纳法证明不等式 [解析]（1）当n=1时，左=，右=2，不等式成立 （2）假设当n=k时等式成立，即 则 当n=k+1时， 不等式也成立 综合（1）（2），等式对所有正整数都成立 【名师指引】（1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行； （2）归纳递推是证