专题2.5 以数列求和或者通项公式为背景的填空题-2021年高考数学备考优生百日闯关系列【山东专版】

专题二 压轴填空题 第五关 以数列求和或者通项公式为背景的填空题 【名师综述】 1.数列的通项公式及递推公式的应用也是命题的热点，根据an与Sn的关系求通项公式以及利用构造或转化的方法求通项公式也是常考的热点. 2.数列的求和问题多以考查等差、等比数列的前n项和公式、错位相减法和裂项相消法为主，且考查频率较高，是高考命题的热点. 1．求数列通项公式的常见类型及方法 (1)归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法． (2)已知Sn与an的关系，利用an＝求an. (3)累加法：数列递推关系形如an＋1＝an＋f(n)，其中数列{f(n)}前n项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法(叠加法)． (4)累乘法：数列递推关系形如an＋1＝g(n)an，其中数列{g(n)}前n项积可求，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法)． 2．活用数列求和的四种方法 (1)公式法： 适合求等差数列或等比数列的前n项和．对等比数列利用公式法求和时，注意q＝1或q≠1两种情况． (2)错位相减法： 这是推导等比数列的前n项和公式时常用的方法，主要用于求数列{anbn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列． (3)裂项相消法： 把数列的各项分别裂开后，前后抵消从而计算和的方法，适用于求通项为 ＝的数列的前n项和，其中{an}为等差数列，则. (4)分组求和法： 一个数列如果既不是等差数列又不是等比数列，但它可以拆成两个数列，而这两个数列是等差或等比数列，那么就可分组求和，这种方法叫分组求和法． 类型一 将递推式转换为项间的关系式处理的问题 典例1 【辽宁葫芦岛普高协作体2017届高三上学期第二次考试，16】已知数列 的前 项和为 ， ，则 的最小值为 ． 【答案】 【名师指点】本题主要考查数列前 项和、等比数列；3、基本不等式，属于较难题型.使用基本不等式公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图象，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型. 【举一反三】【山东省德州市2019届高三期末联考】已知数列的前项和为，满足，数列满足，则数列的前10项和是___． 【答案】 【解析】数列{bn}前n项和为Sn满足Sn＝2bn﹣1（n∈N*）， ∴n＝1时，b1＝2b1﹣1，解得b1＝1． n≥2时，bn＝Sn﹣Sn﹣1＝2bn﹣1﹣（2bn﹣1﹣1），化为：bn＝2bn﹣1． ∴数列{bn}为等比数列，首项为1，公比为2． ∴bn＝2n-1． 将bn＝2n-1代入中得an＝2n-1, 则， 则 故答案为：． 类型二 可转化为前n项和间的递推式的问题 典例2 已知数列的前项和为，．当时，，则=（ ） 【答案】1008 【名师指点】由已知条件，将已知递推式利用 转化为 间的递推式，通过对递推式的处理知数列是等差数列，进而利用等差数列通项公式求． 【举一反三】（2015新课标全国ⅠⅠ理科）设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=−1，an+1=SnSn+1，则Sn=___. 【答案】− 【解析】 当n=1时，S1=a1=−1，所以 =−1.因为an+1=Sn+1−Sn=SnSn+1，所以 =1，即 =−1，所以{ }是以−1为首项，−1为公差的等差数列，所以 =(−1)+(n−1)·(−1)=−n，所以Sn=− . 类型三 通过若干项观察归纳总结的问题 典例3 【贵州省贵阳第一中学、云南师大附中、广西南宁三中2019届高三“333”高考备考诊断联考】已知数列的首项，函数为奇函数，记为数列的前项和，则的值为_____________． 【答案】 【解析】 是奇函数，，，， ，，如此继续，得， . 【名师指点】通过计算数列前几项,得出该数列所具有的特殊性质，然后利用该性质作为一般规律去解题，是数学中常用的方法，体现了从特殊到一般的数学思想方法． 【举一反三】．（2020·安徽高三期末（文））已知数列 的前 项和为 , , ,则 _____． 【答案】 【解析】根据 可得: 故: EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 则 由 ,根据上述可求得: , , , , , , , , 可得 故答案为: . 【精选名校模拟】 1．【宁夏银川一中2019届高三第五次月考】已知，数列的前项和为，数列的通项公式为，则的最小值为______ 【答案】-4 【解析】由，可知