专题13：概率统计-备战2021年高考数学（理）三轮复习查缺补漏特色专题

专题13：概率统计知识点和精选提升题（解析版） 知识点一：常见的概率类型与概率计算公式； 类型一：古典概型； 古典概型的基本特点： 基本事件数有限多个； 每个基本事件之间互斥且等可能； 概率计算公式： A事件发生的概率 ; 类型二：几何概型； 几何概型的基本特点： 基本事件数有无限多个； 每个基本事件之间互斥且等可能； 概率计算公式： A事件发生的概率 ； 注意： 究竟是长度比还是面积比还是体积比，关键是看表达该概率问题需要几个变量，如果需要一个变量，则应该是长度比或者角度比；若需要两个变量则应该是面积比；当然如果是必须要三个变量则必为体积比； 如果是用一个变量，到底是角度问题还是长度问题，关键是看谁是变化的主体，哪一个是等可能的； 例如：等腰 中，角C= ，则： 若点M是线段AB上一点，求使得 的概率； 若射线CA绕着点C向射线CB旋转，且射线CA与线段AB始终相交且交点是M，求使得 的概率； 解析：第一问中明确M为AB上动点，即点M是在AB上均匀分布，所以这一问应该是长度之比，所求概率： ; 而第二问中真正变化的主体是射线的转动，所以角度的变化是均匀的，所以这一问应该是角度之比的问题，所以所求的概率： ； 知识点二：常见的概率计算性质； 类型一：事件间的关系与运算； A+B（和事件）：表示A、B两个事件至少有一个发生； （积事件）：表示A、B两个事件同时发生； （对立事件）：表示事件A的对立事件； 类型二：复杂事件的概率计算公式； 和事件的概率： （1）特别的，若A与B为互斥事件，则： （2）对立事件的概率公式： 积事件的概率： （1）若事件 相互独立，则： （2）n次独立重复的贝努利实验中，某事件A在每一次实验中发生的概率都为p，则在n次试验中事件A发生k次的概率： 类型三：条件概率； 条件概率的定义：我们把在事件A发生的条件下事件B发生的概率记为： ； 且 三个常见公式： 乘法公式： 全概率公式：设 是一组互斥的事件且 ，则对于任何一个事件B都有： 贝叶斯公式：设 是一组互斥的事件且 则对于任何一个事件B都有： 知识点三：求解一般概率问题的步骤； 第一步：确定事件的性质：等可能事件、互斥事件、相互独立事件、n次独立重复实验等； 第二步：确定事件的运算：和事件、积事件、条件概率等； 第三步：运用相应公式，算出结果； 知识点三：常见的统计学数字特征量及其计算； 特征量一：平均数（数学期望） 计算公式一： ； 计算公式二： ； 计算公式三：（若随机变量 是连续型随机变量，且函数 是它的密度函数） 特征量二：中位数 将所有的数从大到小排或者从小到大排，若共有奇数个数，则正中间的那个数叫做这一列数的中位数；若共有偶数个数，那么正中间那两个数的平均数叫做这一列数的中位数。 特征量三：众数 将所有数中出现次数最多且次数超过1次的数叫做这一列数的众数。一列数的众数可以有多个，也可以没有。 特征量四：方差 方差反映一组数或者一个统计变量的稳定程度，方差越小数值越稳定，方差越大则数值波动越大。 计算公式一： ； 计算公式二： ； 计算公式三： ； 注：期望和方差的性质: 性质1： ； 性质2： ； 性质6： ； 性质7： ； ； 性质9：若 是相互独立的随机变量，则： ； 知识点四：简单的统计学知识； 问题一：统计学中的简单的抽样方法； 方法一：简单随机抽样； 基本原理：根据研究目的选定总体，首先对总体中所有的观察单位编号，遵循随机原则，采用不放回抽取方法，从总体中随机抽取一定数量观察单位组成样本。 具体做法：①随机数字法 ； ② 抽签法； 优缺点分析： 优点：基本原理比较简单； 当总体容量不大时比较方便； 抽样误差的计算较方便； 缺点：对所有观察单位编号，当数量大时，有难度； 方法二：系统抽样； 基本原理：先将总体的观察单位按某顺序号等分成n个部分再从第一部分随机抽第k号观察单位，依次用相等间隔，机械地从每一部分各抽取一个观察单位组成样本； 优缺点分析： 优点：抽样方法简便，特别是容量比较大的时候； 易得到一个按比例分配的样本，抽样误差较小； 缺点：仍需对每个观察单位编号； 当观察单位按顺序有周期趋势或单调性趋势时，产生明显偏性； 方法三：分层抽样； 基本原理：先将总体按某种特征分成若干层，再从每一层内随机抽取一定数量的观察单位，合起来组成样本。 具体做法： 第一步：计算每一层个体数与总体容量的比值； 第二步：用样本容量分别乘以每一层的比值，得出每层应抽取的个体数； 第三步：用简单随机抽样的方法产生样本； 优缺点分析： 优点：在一定程度上控制了抽样误差，尤其是最优分配法； 缺点：总体必须要能分成差别比较大的几层时才能用，局限性比较大； 总结：以上三种抽样方法的共同特征是每个个体被抽中的可能性相同； 知识点五：