专题2.4 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题-2021年高考数学备考优生百日闯关系列【山东专版】

专题二 压轴填空题 第四关 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题 【名师综述】 以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题，与函数图象相结合问题、最值问题，探索性问题等. 对探索、开放、存在型问题的考查，探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性，对学生的能力要求较高，有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程下高考命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何的中，不过并非所有平面几何中的性质都可以类比推广到立体几何中，这需要具有较好的基础知识和敏锐的洞察力;对折叠、展开问题的考查，图形的折叠与展开问题（三视图问题可看作是特殊的图形变换）蕴涵了“二维——三维——二维” 的维数升降变化，求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辩，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立几解答题的重要题型. 类型一 几何体在变化过程中体积的最值问题 典例1 （2021·江西高三其他模拟（理））在四棱锥 中， 平面ABCD，底面ABCD是直角梯形， ， ，若动点Q在平面PAD内运动，使得 与 相等，则三棱锥 的体积最大时的外接球的体积为_____． 【答案】 【详解】 因为 平面 ，所以平面 平面 ， 因为 ， EMBED Equation.DSMT4 ，所以 平面 ， 平面 ， 因为 在 内及边上，所以 、 在平面 内， 所以 ， ， 所以在 内， ，在 内， ， 因为 ，所以 ，因为 ， 所以 ， 在平面 内，以 的中点为原点O，线段 的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系： 则 ， ，设 ， 则 ， ， 由 得 ，化简得 ， 所以动点Q在平面PAD内运动， 点轨迹是圆 ，如图所示， 当 在过圆心的垂线时点 到 的距离最大为半径 ，也就是三棱锥 的高的最大值为 ，下面的计算不妨设点 在x轴上方， 外接圆圆心在 中垂线上，即y轴上，设外接圆圆心N，半径r，则 ，而 ， 故 ， ，所以 ，故 ，则 . 如图三棱锥 ， 平面 ， ， 的外接圆圆心在斜边中点M上，过M，N作平面 和平面 的垂线，交于点I，即是三棱锥外接球球心，因为 ， 所以三棱锥 外接球半径 ， 所以三棱锥 的外接球的体积为 . 故答案为： . 【举一反三】（2019·湖南衡阳市八中高三（文））四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形，侧面 是以 为斜边的等腰直角三角形，若 ，则四棱锥 的体积取值范围为_____． 【答案】 【解析】 如图所示，四棱锥 中，可得： 平面 平面 平面 ，过 作 于 ，则 平面 ，故 ，在 中， ，设 ，则有， ,又 EMBED Equation.DSMT4 ，则 ，四棱锥 的体积取值范围为 . 类型二 几何体的外接球或者内切球问题 典例2 【2017课标1】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________． [答案] 【解析】取 的中点 ，连接 ，因为 所以 因为平面 平面 所以 平面 设 所以 ，所以球的表面积为 【名师指点】]确定外接球半径问题一般有下列方法: 将所求几何体通过补体，转化为长方体、直棱锥等熟悉几何体的外接球问题.; 球心是到多面体各顶点距离相等的点，可利用过三角形外心，且垂直于该面的垂线的交点确定; 构造特殊模型来确定外接球半径. 【举一反三】（2020·山东高三期末）下图是两个腰长均为 的等腰直角三角形拼成的一个四边形 ，现将四边形 沿 折成直二面角 ，则三棱锥 的外接球的体积为__________ ． 【答案】 【解析】 由题设可将该三棱锥拓展成如图所示的正方体，则该正方体的外接球就是三棱锥的外接球，由于正方体的对角线长为 ，即球的半径 ，该球的体积 ，应填答案 ． 类型三 立体几何与函数的结合 典例3.如图，在棱长为1的正方体 的对角线 上取一点 ，以 为球心， 为半径作一个球，设 ，记该球面与正方体表面的交线的长度和为 ，则函数 的图像最有可能的是（ ） 【答案】B 【解析】 试题分析：球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：（1）当 ；（2）当 ；（3）当 .（1）当 时，以 为球心， 为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线弧长为 ，且为函数 的最大值；（2）当 时，以 为球心， 为半径作一个球，根据图形的相似，该球面与正方体表面的交线弧长为（1）中的一半；（3）当 时，以 为球心， 为半径作一个球，其弧长为 ，且为函数 的最大值，对照选项可得B正确. 【名师指点】球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：（1）当 ；（2）当 ；（3）当 .其中（1）（3）两种情形所得弧长相等