专题2.3 以平面向量数量积相关的求值问题为背景的填空题-2021年高考数学备考优生百日闯关系列【山东专版】

专题二 压轴填空题 第三关 以平面向量数量积相关的求值问题为背景的填空题 【名师综述】 平面向量是高中数学的重要知识，是高中数学中数形结合思想的典型体现．近年来，高考对向量知识的命题，既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化，又保持与三角函数或平面解析几何相结合的命题思路，呈现出“综合应用，融会贯通”的特色，充分彰显平面向量的交汇价值． 类型一 平面向量数量积在圆中的应用 （2021·安徽安庆市·）已知圆 ，点 是直线 的一动点， 是圆 的一条直径，则 的最小值等于___________. 【答案】 【详解】 圆 圆心 到直线 的距离 ， . 故答案为： 【举一反三】（2020·山东高三期末）在平面直角坐标系中，为直线上在第三象限内的点，，以线段为直径的圆（为圆心）与直线相交于另一个点，，则圆的标准方程为________. 【答案】 【解析】由题意，设点，因为，则的中点为， 以线段为直径的圆的方程为：； 由，解得：，即； 又，所以； 因为， 所以， 整理得：，解得或，因为，所以， 所以圆的方程为：， 整理得：. 故答案为：. 类型二 解析几何中的向量问题 典例2（2020·全国高三模拟）已知 是双曲线 ： （ ， ）的左焦点，点 在直线 ： 上，点 在直线 ： 上， 为坐标原点， ， ， 的面积为 ，则双曲线 的标准方程为______ 【答案】 【详解】 由 ， ，得 是线段 的垂直平分线，所以 ，所以 ， ， ，所以 的面积为 ，解得 .又 ， ，所以 ， ，所以双曲线 的标准方程为 . 故答案为： . 【举一反三】（2020·山东高三期末）已知抛物线的焦点为，准线，是上一点， 是直线与的一个交点，若，则__________. 【答案】 【解析】 根据题意画出图形，设与轴的交点为M，过Q向准线，垂足是N， ∵抛物线，∴焦点为，准线方程为， ∵， 类型三 向量中的函数、不等式问题 典例3（2020·四川遂宁市·）已知向量 ， ，设函数 ， ．则下列对函数 和 的描述正确的命题有_____（请写出全部正确命题的序号） ① 的最大值为3． ② 在 上是增函数 ③ 的图象关于点 对称 ④ 在 上存在唯一极小值点 ，且 【答案】①②④ 【详解】 解：因为向量 ， ， 所以 ， 所以当 时， 取最大值3，所以①正确； 由 ，得 ， 当 时， 的递增区间为 ， 因为 ， 所以 在 上是增函数，所以②正确； 由 ，得 ， 所以 图像的对称中心为 ，所以③错误； 因为 所以 ， ， 则 ， 恒成立， 所以 在 上单调递增， 因为 ， 所以 在 存在唯一的极值点 ，则 使 ， 即 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ， 即 ，所以④正确 【举一反三】已知向量满足，则的最大值为_______. 【答案】 【解析】 设，以OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系的夹角为，则，，即表示以为圆心，1为半径的圆，表示点A，C的距离，即圆上的点与A的距离，因为圆心到A的距离为，所以的最大值为． 【精选名校模拟】 1．．（2020·上海闵行区·一模）已知平面向量 ，对任意实数t，都有 ， 成立.若 ， ， ，则 =___________. 【答案】 【详解】 设 ， 则 ， 即 ， 则 分别在 所在的直线上， ， 因为 所以 因为垂线段距离最短， 即为点 到 的垂线段长度， 即 ， 同理 ， 所以 四点在以 为直径的圆上， 而 ， ， 即 ， 由正弦定理可得三角形 外接圆的直径 ， 即四边形 外接圆的直径为 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 故答案为： . 2. （2020·上海崇明区·高三一模）已知点 为圆 的弦 的中点，点 的坐标为 ，且 ，则 的最大值为________ 【答案】 【详解】 设点 ，则 ， 因为 ，所以 ， 整理得 ，即为点 的轨迹方程为 ， 所以 ，故 的最大值为 . 故答案为： . 3. （2021·上海金山区·高三一模）在直角三角形 中， ， ， ，点 是 外接圆上的任意一点，则 的最大值是___________. 【答案】45 【详解】 建立平面直角坐标系，如图所示： ， ， ， 外接圆 ， 设 EMBED Equation.DSMT4 ， ， 则 ， ， ， ，当且仅当 时取等号． 所以 的最大值是45． 故答案为：45． 4. （2019·山东高考模拟（理））已知抛物线的焦点为F，准线为，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且，若点A，B在上的投影分别为M，N，则△MFN的内切圆半径为 【答案】 【解析】抛物线的焦点为,因为，所以直线垂直于x轴，所以,所以，,因为，所以