专题2.2 以不等式恒成立或有解问题为背景的填空题-2021年高考数学备考优生百日闯关系列【山东专版】

专题二 压轴填空题 第二关 以不等式恒成立或有解问题为背景的填空题 【名师综述】 含参数不等式的恒成立的问题，是近几年高考的热点.它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想.含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论. 类型一 可转化为二次函数的恒成立问题 典例1．【山西省太原市2019届高三上学期阶段性（期中)考试】已知函数=，若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是_________； 【答案】(0,1) 【解析】 函数f（x）=ex﹣e﹣x﹣2x+1，x∈R；可设g（x）=ex﹣e﹣x﹣2x，x∈R； 则f（x）=g（x）+1， 且g（﹣x）=e﹣x﹣ex+2x=﹣（ex﹣e﹣x﹣2x）=﹣g（x）， ∴g（x）是定义域R上的奇函数；又g′（x）=ex+e﹣x﹣2≥0恒成立， ∴g（x）是定义域R上的增函数； ∴不等式f（x2+a）+f（2ax）＞2恒成立， 化为g（x2+a）+g（2ax）+2＞2恒成立， 即g（x2+a）＞﹣g（2ax）=g（﹣2ax）恒成立，∴x2+a＞﹣2ax恒成立， 即x2+2ax+a＞0恒成立；∴△=4a2﹣4a＜0， 解得0＜a＜1，∴实数a的取值范围是（0，1）． 故答案为：（0，1）． 【名师指点】利用函数的性质将抽象不等式符号 去掉，转化为二次不等式恒成立问题，若实数范围内的二次不等式问题可结合开口方向和判别式处理；若给定区间的二次不等式恒成立或有解问题，可利用参变分离法或图象处理． 【举一反三】【2019·山东省淄博第七中学高一月考】在 上定义了运算“ ”： ；若不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围是__________ 【答案】 . 【解析】由定义得 ， 即不等式 在 上恒成立， 则 ，解得 ， 因此，实数 的取值范围是 ，故答案为 . 类型二 利用构造函数求最值方法求恒成立问题 典例1 （2019湖北四市联考*构造函数）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为 。 【答案】 【解析】令,不等式恒成立，即. ，, 指数函数y=与反比例函数在有一个交点，设为, 即.① 又在单调递增，故时，,单调递减；当时，,单调递增.则, 令,② 由①②可得,则在上单调递增，又由题意， 则，即，故，. 【名师指点】 恒成立等价与 恒成立，记 ，则 ，本题中由于 有参数，需要分类讨论，利用导数求最值． 【举一反三】（2020·山东高三期末）设函数 在定义域(0，+∞)上是单调函数， ，若不等式 对 恒成立，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】由题意可设 ，则 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 由 得 ， ∴ 对 恒成立， 令 ， ，则 ， 由 得 ， ∴ 在 上单调递减，在 单调递增， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 类型三 利用参变分离求恒成立问题 典例2（2019·山东枣庄八中高三月考（理））若不等式 对 恒成立，则实数a的取值范围是______． 【答案】(－∞，4] 【解析】 2xlnx≥－x2＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋ ，设h(x)＝2lnx＋x＋ (x>0)，则h′(x)＝ .当x∈(0,1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4，则a≤h(x)min＝4，故实数a的取值范围是(－∞，4]． 故答案为(－∞，4] 【名师指点】恒成立的问题： （1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题； （2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若 恒成立，转化为 ; （3）若 恒成立，可转化为 . 【举一反三】【江西省新余市2018届高三第二次模拟考试数学（理）试题】设函数 ， ，对 ，不等式 恒成立，则正数 的取值范围为 . 【答案】 类型四 利用图像法求恒成立问题 典例3 （2019·山东高三期中）已知是R上的偶函数且，若关于的方程有三个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】作出函数的图象如下图所示． 由可得或． 由图象可得有唯一解． ∵关于的方程有三个不相等的实数根， ∴方程有两个不相等的实数根， 即函数的图象与函数的图象有两个不同的交点， 结合图象可得或． ∴实数的取值范围是． 故答案为． 【名师指点】已知函数零点的个数（或方程根的个数）求参数的取值范围时，一般要结合函数的图象进行求解，解题时可把方程转化为两个函数，然后在同