专题2.1 以零点个数为背景的填空题-2021年高考数学备考优生百日闯关系列【山东专版】

专题二 压轴填空题 第一关 以零点个数为背景的填空题 【名师综述】本类压轴题常以超越方程、分段函数、抽象函数等为载体，达到考查函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等目的。要注意函数零点、方程的根、不等式解集三者之间的关系，进行彼此之间的转化是解决该类题的关键，等价转化是这类问题的难点．解决该类问题的途径往往是根据函数的性质作出示意图，利用数形结合研究分界位置，结合函数、方程、不等式刻画边界位置，其间要注意导数的应用. 【典例解剖】 类型一 周期函数零点个数问题 典例1[山东省夏津一中2019届高三上学期12月月考]定义在上的函数，满足，且.若，则函数在内的零点的个数有______个 【答案】2 【解析】 由于，故是周期为点的周期函数，画出的图像以及的图像如下图所示，由图可知，两个函数有个交点，故函数有个零点。 【名师指点】将给定区间的根的个数问题转换为熟悉函数图像在给定区间的交点个数问题,利用周期性和偶函数正确作图以及判断端点函数值的大小是解题关键．求解零点问题时，往往转化为 的根求解，若该方程不易解出，可考虑数形结合转化为两熟悉图像的交点问题求解． 【举一反三】（2018·山东高三期中（文））已知偶函数满足，且当时．若时，有3个零点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】因为，故是周期为2的周期函数，在上的图像如图所示： 因为有3个不同的零点，所以有三个不同的解，所以的图像与的图像有3个不同的交点，所以，所以，填. 类型二 复合函数的零点个数问题 典例2 （2021·福建漳州市·高一期末）已知函数 ，若方程 在 上有8个实数根，则实数 的取值范围是_________. 【答案】 【详解】 在 上单调递增，在 上单调递减， ， ， 又∵ ， ， 由函数 的图象（如图）知，要使得方程 在 上有8个实根， 在 上有4个根，由图可知，实数 的取值范围是 . 故答案为： ． 【名师指点】求解复合方程问题时，往往把方程 分解为 和 处理，先从方程 中求 ，再带入方程 中求 的值． 【举一反三】【2019·山东省实验中学高三月考】已知是函数的一个零点，是函数的一个零点，则的值为__________. 【答案】3 【解析】的零点问题可以转化成与的交点,而函数的零点问题可以看成与的交点,结合反函数的求解得出与互为反函数,关于对称,绘制函数图像,得到 结合对称可知,,而,所以,而,G点坐标为,所以 类型三 分段函数（或含绝对值函数）的零点个数问题 典例3 （2021·山西运城市·高三）已知 ，函数 ，若方程 恰有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是___________． 【答案】 【分析】 程 恰有两个不同的实数根转化为函数 的图象与直线 在两个不同的交点，作出函数图象与直线后，由图象观察可得结论，其中需要用导数求出 在 处的切线斜率． 【详解】 方程 恰有两个不同的实数根，即函数 的图象与直线 在两个不同的交点，作出函数 的图象与直线 的图象如下，易知直线 恒过定点 ，又 ， ， ， ， 时， ， ，即函数 的图象在 处的切线斜率为 ， 由图象可得 或 ． 故答案为： ． 【名师指点】分段函数与含绝对值函数典型特征为各段解析式不一致，不仅要考虑对应性，而且需考虑自变量在结合点情况及值域包含关系．[来源:Z_xx_k.Com] 【举一反三】．【安徽省2019届高三皖南八校第一次联考】已知高数的周期为4，且时，,，若方程恰有5个实数解（其中m＞0），则m的取值范围为_____________。 【答案】 【解析】 有5个解， 等价于为与的图象有5个交点， 在同一坐标系内画出函数与的图象，如图. 求出直线过点和直线与半圆相切时的的值分别为，由图可得时， 与的图象有5个交点，故答案为. 【精选名校模拟】 1. （2020·山西省长治市月考）已知函数 ，若 ，且 ，则 的取值范围为________． 【答案】 【详解】 作出函数 的图象，如图所示， 因为 ， 要使得 ，且 ，可得 ， 由 ，得 ， 即 ，可得 ， 所以 ， 当且仅当 时，即 等号成立， 又由 ，可得 . 所以 的取值范围为 . 故答案为： . 2．（2021·天津静海区期末）已知函数 ，若函数 在 上有两个零点，则 的取值范围是___________. 【答案】 【详解】 因为函数 , 当 时， 有一个零点 ， 所以只需要当 时， 有一个根即可，即 有一根, 当 时， 且 单调递增，所以 ，即 ， 故答案为 ． 3．（2021·江苏盐城市期末）已知函数 ，方程 有六个不同的实数根 、 、 、 、 、 ，则 的取值范围为________． 【答案】 【详解】