专题03：函数-备战2021年高考数学（理）三轮复习查缺补漏特色专题

专题3：函数知识点和精选提升题（解析版） 知识点： 函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 注：1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；（3)对数式对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5指数为零底不可以等于零， 相同函数的判断：①定义域一致 ②表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关） 3.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 1方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点． 2、函数零点的求法： eq \o\ac(○,1) （代数法）求方程 的实数根； eq \o\ac(○,2) （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 3、二次函数的零点：二次函数 ． （1）△＞０，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点． （2）△＝０，方程 有两相等实根，二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个零点． （3）△＜０，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数 无零点． 1.函数的单调性 （1）设 那么 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 上是增函数； EMBED Equation.3 上是减函数. （2）单调性性质： ①增函数+增函数=增函数； ②减函数+减函数=减函数； ③增函数-减函数=增函数； ④减函数-增函数=减函数； 注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。 2. 复合函数单调性的判断方法： ⑴如果函数 和 都是减函数（增函数）,则在公共定义域内, 和函数 也是减函数（增函数）; ⑵ 3．函数的奇偶性（注：奇偶函数大前提：定义域必须关于原点对称） ⑴若 是偶函数，则 ；偶函数的图象关于y轴对称； 偶函数在对称区间上的单调性相反。 ⑵如果一个奇函数在 处有定义，则 ；奇函数的图象关于原点对称； 奇函数在对称区间上的单调性相同。 ⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式： 或者 ⑷奇偶函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称; 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数； 如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数． 两个奇函数之和（差）为奇函数；之积（商）为偶函数。 两个偶函数之和（差）为偶函数；之积（商）为偶函数。 （7）一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。 （8）两个函数 和 复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。 4.函数 的图象的对称性：函数 的图象关于直线 对称 EMBED Equation.DSMT4 . 5.两个函数图象的对称性 (1)函数 与函数 的图象关于直线 (即 轴)对称. (2)函数 与函数 的图象关于直线 (即 轴)对称. (3)指数函数 和 的图象关于直线y=x对称. 6.若将函数 的图象右移 、上移 个单位，得到函数 的图象 7.互为反函数的两个函数的关系： . 8.几个常见抽象函数模型所对应的具体函数模型 (1)正比例函数 , . (2)指数函数 , . (3)对数函数 , . (4)幂函数 , . 12.分数指数幂 ：(1) （ ，且 ）; (2) （ ，且 ）. 13．根式的性质: ； 当 为奇数时， ； 当 为偶数时， . 14．有理指数幂的运算性质 (1) ;(2) ; (3) . 15.指数式与对数式的互化式： EMBED Equation.DSMT4 . 16.对数的换底公式 ： ( ,且 , ,且 , ). 推论 ( ,且 , ,且 , , ). 对数有关性质： ⑴ 的符号有口诀“同正异负”记忆； ⑵ ； ；(3)对数恒等式： (4) ； (5)设函数 ,记 . 若 的定义域为 ,则 ，且 ; 若 的值域为 ,则 ，且 .对于 的情形,需要单独检验.； 幂函数，指数函数，对数函数的图像及性质分析