微专题03 含绝对值的函数问题-【备战2022年高考】数学复习绕不开的重要微专题

微专题3：含有绝对值的函数问题 【知识精讲】 1.绝对值的定义 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+5的绝对值等于5，记作|+5|=2；-1的绝对值等于1，记作|-1|=1，0的绝对值是0． （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 2.绝对值的性质 ①0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． ②互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等. ③绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0，即． 3.数轴上两点之间的距离 若A、B是数轴上的两个点，它们表示的数分别为，则A、B两点之间的距离为. 4.含绝对值的问题：含有绝对值的函数要先去掉绝对值的符号. 【典型例题】 【例1】 若函数的图像关于对称，则的值为__________. 【例2】已知函数． （1）判断的奇偶性； （2）画出的图象； 【例3】已知函数. （1）求的最小值，并在图中画出的图象； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【例4】设函数，则使得成立的x的取值范围是______． 【例5】已知函数，则不等式的解集为________． 【例6】关于x的方程的实数根的个数是________. 【例7】（多选题）设函数，若函数有五个零点，则实数可取（ ） A． B． C． D． 【例8】已知函数，若存在互不相等的实数，使得，则的取值范围是__________． 【例9】函数（ ） A．是奇函数，也是周期函数； B．是奇函数，不是周期函数； C．是偶函数，也是周期函数； D．是偶函数，不是周期函数. 【例10】若函数，则（ ） A．是周期函数 B．在上有4个零点 C．在上是增函数 D．的最小值为 【例11】已知函数（且）．若函数的图象上有且只有两个点关于原点对称，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例12】函数在上的所有零点之和等于（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【例13】已知且，函数，满足对任意实数，，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A． B．， C． D．， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 $ 微专题3：含有绝对值的函数问题 【知识精讲】 1.绝对值的定义 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+5的绝对值等于5，记作|+5|=2；-1的绝对值等于1，记作|-1|=1，0的绝对值是0． （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 2.绝对值的性质 ①0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． ②互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等. ③绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0，即． 3.数轴上两点之间的距离 若A、B是数轴上的两个点，它们表示的数分别为，则A、B两点之间的距离为. 4.含绝对值的问题：含有绝对值的函数要先去掉绝对值的符号. 【典型例题】 【例1】若函数的图像关于对称，则的值为__________. 【答案】 【分析】根据题意，分析的对称轴，由此可得，从而可求得的值 【解析】根据题意，函数，是由的图像平移个单位得到的（，向左平移，，向右平移），所以函数的图像的对称轴为， 由. 故答案为： 【例2】已知函数． （1）判断的奇偶性； （2）画出的图象； 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义可判断函数的奇偶性； （2）将函数的解析式表示为分段函数的形式，由此可作出函数的图象. 【解析】（1）由得，所以，的定义域是， 该函数的定义域关于原点对称． 又，所以，函数是偶函数； （2），图象如图所示， 【例3】已知函数. （1）求的最小值，并在图中画出的图象； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【分析】（1）根据题意，由函数的解析式作出函数的图象，结合函数的单调性，分析可得其最小值，即可得答案， （2）根据题意，结合函数的图象，分与两种情况讨论，求出的取值范围，即可得答案． 【解析】（1）， 所以的图象如图， 所以在上递减，在上递增， 所以当时，取到最小值为. （2）由图可知，当显然成立； 当时，由函数的对称性，只需即可，所以， 综上可得. 【例4】设函数，则使得成立的x的取值范围是______．