专题6极坐标与参数方程知识点与20道针对大题（中档题）-2021年高考数学极坐标与参数方程中必考知识专练

专题6极坐标与参数方程知识点与20道针对大题（中档题）（解析版） 一、极坐标系 在平面上取一个定点 ，由点 出发的一条射线 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点 称为极点， 称为极轴.平面上任一点M的位置可以由线段 的长度 和从 到 的角度 (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示). 这两个实数组成的有序实数对 称为点M的极坐标. 称为极径， 称为极角. SHAPE \* MERGEFORMAT 二、极坐标与直角坐标的互化 设 为平面上的一点，其直角坐标为 ，极坐标为 ，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立: 或 （对 也成立）. 三、极坐标的几何意义 ——表示以 为圆心， 为半径的圆； ——表示过原点(极点)倾斜角为 的直线， 为射线； 表示以 为圆心过 点的圆. (可化直角坐标: EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 .) 四、直线的参数方程 直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为 ，其中 为直线的倾斜角)，代人点斜式方程: ,即 . 记上式的比值为 ,整理后得 , 也成立，故直线的参数方程为 ( 为参数， 为倾斜角，直线上定点 ，动点 ， 为 的数量，向上向右为正(如图16-33所示). SHAPE \* MERGEFORMAT 五、圆的参数方程 若圆心为点 ，半径为 ，则圆的参数方程为 . 六、椭圆的参数方程 椭圆 的参数方程为 （ 为参数， ）. 七、双曲线的参数方程 双曲线 的参数方程为 EMBED Equation.DSMT4 . 八、抛物线的参数方程 抛物线 的参数方程为 （ 为参数，参数 的几何意义是抛物线上的点与顶点连线的斜率的倒数）. 1．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l过点 ，倾斜角为 ，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆C的极坐标方程为 ． （1）把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程，并求直线l的参数方程； （2）若直线l被圆C截得的弦长为 ，求直线l的倾斜角 ． 【答案】（1） ， （t为参数）；（2） 或 ． 【分析】 （1）将圆的极坐标方程两边同乘 ，由 可得圆C的直角坐标方程；根据直线的参数方程 即可求解. （2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，由 ，结合韦达定理即可求解. 【详解】 （1） 所以圆C的直角坐标方程为： ，① 直线l的参数方程为： （t为参数），② （2）②代入① ， ， l被C截得弦长 ， ∴ 或 ． 2．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数).以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 . （1）求曲线 的普通方程与直线 的直角坐标方程; （2）点 为曲线 上的动点，求点 到直线 的距离的最大值. 【答案】（1） ， ；（2） . 【分析】 （1）将 除到等式的另一边，两式平方，消去参数 即可得到曲线 的普通方程；利用两角差的正弦公式展开，由 即可求解. （2）设曲线 上的点 ，利用点到直线的距离公式以及三角函数的性质即可求解. 【详解】 曲线 的普通方程为 将 代入上式， 得直线 的直角坐标方程为 设曲线 上的点 ， 到直线 的距离 当 时， 取得最大值为 3．在平面直角坐标系xOy中，曲线 的参数方程为 （t为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）求 的极坐标方程和 的直角坐标方程； （2）设 与 交于P，Q两点，点 ，求 的值． 【答案】（1） ， ；（2）1. 【分析】 （1）由 ，消去参数t，再将 ， 代入求解.由 得 ，再由 ， 求解. （2）由 与 联立,再利用参数的几何意义求解. 【详解】 （1）由 ，消去参数t，得 ， 由 ， ， 可得 的极坐标方程为 ． 由 可得 ， 则 的直角坐标方程为 ， 即 . （2）A在 上，由 与 ， 联立得 ， 所以 ． 4．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）当 为参数， 时，曲线 与 只有一个公共点，求 ； （2）当 为参数， 时，曲线 与 相交于 ， ，且 ，求 的值. 【答案】（1） 或者 ；（2） . 【分析】 （1）首先求出 、 的直角坐标方程，根据曲线 与 只有一个公共点，故线 与 的位置关系是外切或内切，则两圆圆心距等于半径和（差），即可求出参数 的值； （2）当 为参数时，曲线 为过点 的直线，曲线 是直径为2的圆，所以