专题4极坐标与参数方程知识点与十年江苏卷高考真题-2021年高考数学极坐标与参数方程中必考知识专练

专题4极坐标与参数方程知识点与十年江苏卷高考真题（解析版） 一、极坐标系 在平面上取一个定点 ，由点 出发的一条射线 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点 称为极点， 称为极轴.平面上任一点M的位置可以由线段 的长度 和从 到 的角度 (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示). 这两个实数组成的有序实数对 称为点M的极坐标. 称为极径， 称为极角. SHAPE \* MERGEFORMAT 二、极坐标与直角坐标的互化 设 为平面上的一点，其直角坐标为 ，极坐标为 ，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立: 或 （对 也成立）. 三、极坐标的几何意义 ——表示以 为圆心， 为半径的圆； ——表示过原点(极点)倾斜角为 的直线， 为射线； 表示以 为圆心过 点的圆. (可化直角坐标: EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 .) 四、直线的参数方程 直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为 ，其中 为直线的倾斜角)，代人点斜式方程: ,即 . 记上式的比值为 ,整理后得 , 也成立，故直线的参数方程为 ( 为参数， 为倾斜角，直线上定点 ，动点 ， 为 的数量，向上向右为正(如图16-33所示). SHAPE \* MERGEFORMAT 五、圆的参数方程 若圆心为点 ，半径为 ，则圆的参数方程为 . 六、椭圆的参数方程 椭圆 的参数方程为 （ 为参数， ）. 七、双曲线的参数方程 双曲线 的参数方程为 EMBED Equation.DSMT4 . 八、抛物线的参数方程 抛物线 的参数方程为 （ 为参数，参数 的几何意义是抛物线上的点与顶点连线的斜率的倒数）. 1．（2020年江苏卷）在极坐标系中，已知点 在直线 上，点 在圆 上（其中 ， ）． （1）求 ， 的值 （2）求出直线 与圆 的公共点的极坐标． 【答案】（1） （2） 【分析】 (1)将A,B点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果. 【详解】 （1）以极点为原点，极轴为 轴的正半轴，建立平面直角坐标系， ， 因为点 为直线 上，故其直角坐标方程为 ， 又 对应的圆的直角坐标方程为： ， 由 解得 或 ， 对应的点为 ，故对应的极径为 或 . （2） ， ， 当 时 ； 当 时 ，舍；即所求交点坐标为当 【点睛】 本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．（2019年江苏卷）在极坐标系中，已知两点 ，直线l的方程为 . （1）求A，B两点间的距离； （2）求点B到直线l的距离. 【答案】（1） ； （2）2. 【分析】 (1)由题意，在 中，利用余弦定理求解 的长度即可； (2)首先确定直线的倾斜角和直线所过的点的极坐标，然后结合点B的坐标结合几何性质可得点B到直线 的距离. 【详解】 （1）设极点为O.在△OAB中，A（3， ），B（ ， ）， 由余弦定理，得AB= . （2）因为直线l的方程为 ， 则直线l过点 ，倾斜角为 ． 又 ，所以点B到直线l的距离为 . 【点睛】 本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力． 3．（2018年江苏卷） 在极坐标系中，直线l的方程为 ，曲线C的方程为 ，求直线l被曲线C截得的弦长． 【答案】直线l被曲线C截得的弦长为 【解析】 分析：先根据直线与圆极坐标方程得直线与圆的一个交点为A（4，0），且OA为直径.设直线与圆的另一个交点为B，根据直线倾斜角得∠OAB= ．最后根据直角三角形OBA求弦长 . 详解：因为曲线C的极坐标方程为 ， 所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆． 因为直线l的极坐标方程为 ， 则直线l过A（4，0），倾斜角为 ， 所以A为直线l与圆C的一个交点． 设另一个交点为B，则∠OAB= ． 连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA= ， 所以 ． 因此，直线l被曲线C截得的弦长为 ． 点睛：本题考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力. 4．（2017年江苏卷）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （θ为参数），直线l的参数方程为 ． （1）若 ，求C与l的交点坐标； （2）若C上的点到l的距离的最大值为 ，求 ． 【答案】（1） ， ；（2） 或 ． 【解析】 试题分析：（1）直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立解交点坐标；（2）利用椭圆参数方程，设点 ，由点到直线距离公式求参数． 试题解析：（1）曲线 的普通方程为 . 当 时，直线 的普通方程为 . 由 解得 或