专题3极坐标与参数方程知识点与十年全国卷高考真题-2021年高考数学极坐标与参数方程中必考知识专练

专题3极坐标与参数方程知识点与十年全国卷高考真题（解析版） 一、极坐标系 在平面上取一个定点 ，由点 出发的一条射线 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点 称为极点， 称为极轴.平面上任一点M的位置可以由线段 的长度 和从 到 的角度 (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示). 这两个实数组成的有序实数对 称为点M的极坐标. 称为极径， 称为极角. SHAPE \* MERGEFORMAT 二、极坐标与直角坐标的互化 设 为平面上的一点，其直角坐标为 ，极坐标为 ，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立: 或 （对 也成立）. 三、极坐标的几何意义 ——表示以 为圆心， 为半径的圆； ——表示过原点(极点)倾斜角为 的直线， 为射线； 表示以 为圆心过 点的圆. (可化直角坐标: EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 .) 四、直线的参数方程 直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为 ，其中 为直线的倾斜角)，代人点斜式方程: ,即 . 记上式的比值为 ,整理后得 , 也成立，故直线的参数方程为 ( 为参数， 为倾斜角，直线上定点 ，动点 ， 为 的数量，向上向右为正(如图16-33所示). SHAPE \* MERGEFORMAT 五、圆的参数方程 若圆心为点 ，半径为 ，则圆的参数方程为 . 六、椭圆的参数方程 椭圆 的参数方程为 （ 为参数， ）. 七、双曲线的参数方程 双曲线 的参数方程为 EMBED Equation.DSMT4 . 八、抛物线的参数方程 抛物线 的参数方程为 （ 为参数，参数 的几何意义是抛物线上的点与顶点连线的斜率的倒数）. 1．2020年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅰ） 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 EMBED Equation.DSMT4 为参数 ．以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）当 时， 是什么曲线？ （2）当 时，求 与 的公共点的直角坐标． 【答案】（1）曲线 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2） . 【分析】 （1）利用 消去参数 ，求出曲线 的普通方程，即可得出结论； （2）当 时， ，曲线 的参数方程化为 为参数），两式相加消去参数 ，得 普通方程，由 ，将曲线 化为直角坐标方程，联立 方程，即可求解. 【详解】 （1）当 时，曲线 的参数方程为 为参数）， 两式平方相加得 ， 所以曲线 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆； （2）当 时，曲线 的参数方程为 为参数）， 所以 ，曲线 的参数方程化为 为参数）， 两式相加得曲线 方程为 ， 得 ，平方得 ， 曲线 的极坐标方程为 ， 曲线 直角坐标方程为 ， 联立 方程 ， 整理得 ，解得 或 （舍去）， ， 公共点的直角坐标为 . 【点睛】 本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关键，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题. 2．2020年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ） 已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1： （θ为参数），C2： （t为参数）. （1）将C1，C2的参数方程化为普通方程； （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程. 【答案】（1） ； ；（2） . 【分析】 （1）分别消去参数 和 即可得到所求普通方程； （2）两方程联立求得点 ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程. 【详解】 （1）由 得 的普通方程为： ； 由 得： ，两式作差可得 的普通方程为： . （2）由 得： ，即 ； 设所求圆圆心的直角坐标为 ，其中 ， 则 ，解得： ， 所求圆的半径 ， 所求圆的直角坐标方程为： ，即 ， 所求圆的极坐标方程为 . 【点睛】 本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型. 3．2020年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点. （1）求| |： （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程. 【答案】（1） （2） 【分析】 （1）由参数方程得出 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出 的值； （2）由 的坐标得出直线