专题1极坐标与参数方程知识点及典型例题-2021年高考数学极坐标与参数方程中必考知识专练

专题1极坐标与参数方程知识点及典型例题（解析版） 知识点精讲 一．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 INCLUDEPICTURE "D:\\My Documents\\Local Settings\\Temporary Internet Files\\Content.IE5\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml\\wps_clip_image-8113.png" \* MERGEFORMAT 的作用下,点P(x,y)对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 1．已知曲线 通过 伸缩变换后得到的曲线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由题意可得： ，代入方程 ，整理即可得解. 【详解】 由伸缩变换 可得： ，代入方程 ， 可得： ， 所以所求曲线方程为 ， 故选：A. 【点睛】 本题考查了伸缩变化，根据变换前后的关系代入是解此类问题的关键，属于基础题. 2．将正弦曲线 作如下变换: 得到的曲线方程为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由条件 可得 ，代入方程 后可得所求． 【详解】 由 可得 ， 将上式代入 后，得 ， 所以 ． 即变换后得到的曲线方程为 ． 故选：A． 【点睛】 解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P(x，y)与变换后的点P′(x′，y′)的坐标关系，用方程思想求解． 3．在同一平面直角坐标系中，将曲线 按伸缩变换 变换后为(　 　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 分析：由伸缩变换 ，得 ，代入曲线方程即可求得最终结果． 详解：由伸缩变换 ，得 ,代入曲线方程可得： ， 整理可得： ，即伸缩变换后的方程为： . 故选C. 点睛：本题主要考查了曲线的伸缩变化，属于基础题. 4．在同一平面直角坐标系中，将直线 按 ： 变换后得到的直线为l，则直线l的方程（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 先由题中条件得到 ，代入已知直线，即可得出结果. 【详解】 由 得 ，代入 得 ，即 ， 即变换后的直线方程为： . 故选：B. 【点睛】 本题主要考查伸缩变换，属于基础题型. 二、极坐标系 在平面上取一个定点 ，由点 出发的一条射线 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点 称为极点， 称为极轴.平面上任一点M的位置可以由线段 的长度 和从 到 的角度 (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示). 这两个实数组成的有序实数对 称为点M的极坐标. 称为极径， 称为极角. SHAPE \* MERGEFORMAT 5．下列点不在曲线 上的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 将选项代入条件逐一验算即可． 【详解】 对D：点 的极坐标满足 ，且 ． 选项A B C代入 均成立． 故选：D． 【点睛】 本题考查极坐标方程与点的坐标的关系，是基础题． 6．极坐标系中，点 到极轴和极点的距离分别为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据极坐标的定义求解. 【详解】 点 到极轴的距离 ，到极点的距离 . 故选：C 三、极坐标与直角坐标的互化 设 为平面上的一点，其直角坐标为 ，极坐标为 ，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立: 或 （对 也成立）. 7．点 的直角坐标为 ，则点 的极坐标可以为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先判断点 的位置，然后根据公式： ，求出 ，根据点 的位置，求出 . 【详解】 因为点 的直角坐标为 ，所以点 在第二象限. ，因为点 在第二象限， 所以 ，故本题选D. 【点睛】 本题考查了点的直角坐标化为极坐标，关键是要知道点的具体位置. 8．若点P的直角坐标为( ，－ )，则它的极坐标可表示为（ ） A．(2， ) B．(2， ) C．(2， ) D．(2， ) 【答案】D 【分析】 先求出极径，再求出一个极角． 【详解】 由题意 ，设极角为 ， ，则 ， 所以 ． 所以点 的极坐标为 ． 故选：D. 【点睛】 本题考查直角坐标与极坐标的互化．掌握极坐标与直角坐标之间的关系是解题关键．互化公式为 ． 9．已知点 的极坐标为 ，则它的直角坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由 代值计算即可。 【详解】 直接代入公式 即得 所以它的直角坐标是 . 故选C. 【点睛】 本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于简单题。 10．已知点P的极坐标为 ，则它的直角坐标为（