精做02 数列-备战2021年高考数学（文）大题精做

精做02数列 一、等差数列与等比数列 (一)利用方程思想求等差数列与等比数列的通项公式 【例1】（2021·贵溪市实验中学高三一模）在等差数列中，已知，，求. 【详解】 设等差数列的公差是，首项是， 所以，解得，， 所以. 给出数列是等差(比)数列求通项一般是利用方程思想把问题转化为关于a1和d(q)的方程组,通过解方程求a1和d(q),再利用等差(比)数列的通项公式求通项. 【对点训练1】（2021·宁夏长庆高级中学高三月考（理））为等差数列的前项和，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）求，并求的最小值. (二)等差数列与等比数列的判断与证明 【例2】（2021·安徽高三一模（理））已知Sn为数列{an}的前n项和，a1=1，Sn=an+1-1. （1）求{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足2bn+1+Sn+1=2bn+2an，证明数列{an+bn}为等差数列，并求其公差. 【详解】 （1）当时，由Sn=an+1-1，得， 两式相减得即 又因为 所以. 综上是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以. （2）由Sn=an+1-1，得， 又2bn+1+Sn+1=2bn+2an， 所以 即， 所以是以为公差的等差数列. (1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法 ①利用定义,证明an＋1－an(n∈N*)为一常数； ②利用等差中项,即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2,n∈N*)． (2)证明数列{an}是等比数列的两种基本方法 ①利用定义,证明(n∈N*)为一常数； ②利用等比中项,即证明a＝an－1an＋1(n≥2,n∈N*)． 【对点训练2】（2021·浙江高三月考）已知数列满足：，. （Ⅰ）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （Ⅱ）记，求使成立的最大正整数n的值.（其中，符号表示不超过x的最大整数） 二、数列求和 (一)裂项求和 【例3】（2021·江苏高三月考）， （1）求的通项公式； （2）求的前项和. 【详解】 （1），两边取倒数得，即， 又因为，所以是首项为，公差为的等差数列， 所以，故； （2）由（1）得：， 所以； (1)裂项求和的基本思想就是把通项an分拆成an＝bn＋k－bn(k≥1,k∈N*)的形式,从而在求和时达到某些项相消的目的,在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{an}的通项公式,使之符合裂项相消的条件．要适用于或(其中{an}为等差数列)等形式的数列求和．使用裂项法求和时,要注意正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源与目的． (2)常用的裂项公式 ①若{an}是等差数列,则＝,＝； ②＝； ③＝； ④＝－,＝(－)． ⑤ ⑥ ⑦ 【对点训练3】（2021·辽宁高三月考）已知等比数列的各项均为正数，且，． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，求证：． (二)错位相减法求和 【例4】（2021·广东韶关市·高三一模）已知数列的前项和为，若()，且的最大值为25. （1）求的值及通项公式； （2）求数列的前项和. 【详解】 解：（1）由题可得， 所以当为偶数时，，解得； 当为奇数时，，此时无整数解. 综上可得：，. ①时，. ②当时，， 当时也成立. 综上可得： 所以，() （2） ① ② 两式相减得： 则. 则. 错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和,其中{an},{bn}分别是等差数列和等比数列．写出“Sn”与“qSn”的表达式时,应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．同时注意的是相减后得到部分求等比数列的和,此时一定要查清其项数．为保证结果正确,可对得到的和取n＝1,2进行验证． 【对点训练4】（2021·南京市中华中学高三期末）已知等差数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 三、数列与不等式等知识的交汇 【例5】（2021·河北张家口市·高三一模）已知公比小于1的等比数列中，其前n项和为． （1）求； （2）求证：． 【详解】 （1）解：设等比数列的公比为q． 由得 解得或（舍去）， 所以． （2）证明：由（1）得， 所以． 因为在R上为减函数，且恒成立， 所以当，即时，， 所以． 数列与不等式的交汇问题主要有数列不等式的证明、比较大小、数列中的最大(小)项、恒成立问题,不等式的证明一般是把所给数列放缩为可以求和的数列,求和后再利用不等式知识证明,比较大小、数列中的最大(小)项、恒成立问题,常利用数列(或函数)的单调性求解,若则an最大；若则an最小． 【对点训练5】（2021·浙江高三开学考试）数列中，且，其中为的前n项和. （