精做01 三角函数与解三角形-备战2021年高考数学（文）大题精做

精做01三角函数与解三角形 一、三角变换及三角函数的图象与性质 【例1】（2021·陕西西安市·西安中学高三月考（文））已知向量，，. （1）画出函数的图象； （2）在△ABC中，BC＝，sin B＝3sin C，若，求△ABC的周长. 【详解】 解：（1），而，故根据五点法作图如下， （2）由题意可得解得，又0<A<π，所以，所以，故. 设角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a2＝b2＋c2－2bccos A. 所以a2＝b2＋c2－bc＝7， 又sin B＝3sin C，所以b＝3c，故7＝9c2＋c2－3c2，解得c＝1，即b＝3， 所以△ABC的周长为. (1)求函数在区间上值域的一般步骤： 第一步：先利用二倍角公式降幂,然后利用辅助角公式把三角函数式化成形如的形式或的形式（研究函数的单调性也利用这种变换）； 第二步：由的取值范围确定的取值范围,再确定（或)的取值范围； 第三步：求出所求函数的值域（或最值）. (2)的横坐标伸长（或缩短）到原来的倍,得到函数的解析式是,若向右（或左）平移（）个单位,得到函数的解析式是或. 【对点训练1】（2021·江西上饶市·高三一模（文））已知. （1）求函数的单调递增区间； （2）若，求的值域. 二、解三角形 (一)解三角形 【例2】（2021·辽宁高三一模（文））在锐角中，角的对边分别为，已知 （1）若，求； （2）求的取值范围. 【详解】 （1）由，得，得，得， 在，， 由余弦定理， 得， 即，解得或. 当时， 即为钝角（舍）， 故符合. （2）由（1）得， 所以， ， 为锐角三角形，，， ， ， 故的取值范围是. (1) 应用正弦、余弦定理的解题技巧 ①求边：利用公式a＝,b＝,c＝或其他相应变形公式求解． ②求角：先求出正弦值,再求角,即利用公式sin A＝,sin B＝,sin C＝或其他相应变形公式求解． ③已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解． ④灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理,等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理． (2) 对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．求三角形面积的最大值是一种常见类型,主要方法有两类,一是找到边之间的关系,利用基本不等式求最值,二是利用正弦定理,转化为关于某个角的函数,利用函数思想求最值. 【对点训练2（2021·全国高三开学考试（文））在中，角，，所对的边分别为，，，，. （1）求外接圆的面积； （2）若，，求的周长. (二)以四边形或多个三角形为背景的解三角形问题 【例3】（2021·全国高三其他模拟）如图，在中，，，点在边上，，为锐角. （1）若，求的长度； （2）若，求的值. 【详解】 （1）在中，由余弦定理得， 所以，解得或. 当时，， 则，不合题意，舍去； 当时，， 则，符合题意. 故. 在中，， 所以，得， 所以. （2）记，则. 在中，， 所以为锐角，，， 所以，， 所以， 同理. 易得， 所以. 求解四边形中的三角形问题或多个三角形问题,一般要先根据已知的边角画出图形并在图中标示,然后选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理,求解过程中要注意以下结论的应用：（1）两个三角形的公共边可以在两个三角形中同时使用；（2）三角形的一个内角与其外角互补等平面几何性质的应用. 【对点训练3】（2021·湖北宜昌市·高三期末）在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且，． （1）求； （2）如图，M为边AC上一点，且，，求的面积． 三、解三角形在实际问题中的应用 【例4】（2021·江西新余市·高三期末（文））已知函数中，角的对边分别为，且． （1）求的单调递减区间； （2）若，求三角形中的值． 【详解】 解(1)依题 又故的单调递减区间为 (2)由题意知，又，故， 依题意， 在三角形中，由余弦定理 故. (1)应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤： ①分析：理解题意,分清已知与未知,画出示意图； ②建模：根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中到一个三角形中,建立一个解斜三角形的模型； ③求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解； ④检验：检验上述所求得的解是否符合实际,从而得出实际问题的解． (2)正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法,化边法,面积法,运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想． 【对点训练4】（2021·南京市秦淮中学高