精做01 三角函数与解三角形-备战2021年高考数学（理）大题精做

精做01三角函数与解三角形 一、三角变换及三角函数的图象与性质 【例1】（2021·辽宁高三一模（理））已知函数. （1）求函数的单调递减区间； （2）在锐角中，角所对的边分别.若，为的中点，求的最大值. 【详解】 （1）， ， 由， 解得：， 所以递减区间. （2）， 得， 为锐角三角形， ， ， ， ， 由余弦定理得： ，， 且， 两式相加得：， 由， ， 当时，等号成立， 即的最大值为， 所以的最大值为. (1)求函数在区间上值域的一般步骤： 第一步：先利用二倍角公式降幂,然后利用辅助角公式把三角函数式化成形如的形式或的形式（研究函数的单调性也利用这种变换）； 第二步：由的取值范围确定的取值范围,再确定（或)的取值范围； 第三步：求出所求函数的值域（或最值）. (2)的横坐标伸长（或缩短）到原来的倍,得到函数的解析式是,若向右（或左）平移（）个单位,得到函数的解析式是或. 【对点训练1】（2021·湖南永州市·高三二模）已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）在中，角､､所对边分别为､､，若，，的面积为，求外接圆的面积. 二、解三角形 (一)解三角形 【例2】（2021·云南高三其他模拟（理））的内角，，所对的边分别为，，.已知. （1）求； （2）若，且的面积为，求. 【详解】 （1）因为， 所以由正弦定理可得， 即， 而，所以， 故. （2）由（1）知，则， 又的面积为， 则，. 由余弦定理得， 解得. (1) 应用正弦、余弦定理的解题技巧 ①求边：利用公式a＝,b＝,c＝或其他相应变形公式求解． ②求角：先求出正弦值,再求角,即利用公式sin A＝,sin B＝,sin C＝或其他相应变形公式求解． ③已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解． ④灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理,等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理． (2) 对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．求三角形面积的最大值是一种常见类型,主要方法有两类,一是找到边之间的关系,利用基本不等式求最值,二是利用正弦定理,转化为关于某个角的函数,利用函数思想求最值. 【对点训练2（2021·云南师大附中高三月考（理））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设. （1）求角B； （2）若，且的面积等于，求的值. (二)以四边形或多个三角形为背景的解三角形问题 【例3】（2021·广东广州市·高三二模）如图，在四边形中，，，. （1）求； （2）若，求周长的最大值. 【详解】 （1）在中，， 利用正弦定理得：， 又为钝角，为锐角， （2）在中，由余弦定理得 解得：或（舍去） 在中，，设 由余弦定理得，即 整理得：，又 利用基本不等式得：，即， 即，当且仅当时，等号成立，即， 所以 所以周长的最大值为12 求解四边形中的三角形问题或多个三角形问题,一般要先根据已知的边角画出图形并在图中标示,然后选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理,求解过程中要注意以下结论的应用：（1）两个三角形的公共边可以在两个三角形中同时使用；（2）三角形的一个内角与其外角互补等平面几何性质的应用. 【对点训练3】（2021·江西高三其他模拟（理））如图，在中，，，点D在线段上． （1）若，求的长； （2）若，且，求的值． 三、解三角形在实际问题中的应用 【例4】（2021·兴义市第二高级中学高三期末（理））已知中，的对边分别为且. （1）判断的形状，并求的取值范围； （2）如图，三角形的顶点分别在上运动，，，若直线直线 ，且相交于点，求，间距离的取值范围. 【详解】 （1）由可得， 则，所以，则，所以， 因此，即，则为直角三角形，； 所以，所以，则， 因此， 因为，所以，则； （2）不妨记，其中，则， 由余弦定理可得，， 因为，所以，则，所以， 则. (1)应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤： ①分析：理解题意,分清已知与未知,画出示意图； ②建模：根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中到一个三角形中,建立一个解斜三角形的模型； ③求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解； ④检验：检验上述所求得的解是否符合实际,从而得出实际问题的解． (2)正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法,化边法,面积法,运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想． 【对点训练4】（2021·山西运城市·高三期末（理））在