专题11 随机变量及其应用-备战2021年高考数学二轮复习题型专练（新高考专用）

专题11 随机变量及其应用 【要点提炼】 1、独立重复试验与二项分布 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Ceq \o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.用X表示事件A在n次独立重复试验中发生的次数，则X服从二项分布，即X～B(n，p)且P(X＝k)＝Ceq \o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n). 2、超几何分布 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝k,M)eq \f(CCeq \o\al(n－k,N－M),Ceq \o\al(n,N)) ，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，此时称随机变量X服从超几何分布.超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M，N，n. 3、离散型随机变量的均值、方差 (1)离散型随机变量ξ的分布列为 ξ x1 x2 x3 … xi … xn P p1 p2 p3 … pi … pn 离散型随机变量ξ的分布列具有两个性质：①pi≥0； ②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1(i＝1，2，3，…，n). (2)E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量ξ的数学期望或均值. D(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋…＋(xi－E(ξ))2·pi＋…＋(xn－E(ξ))2·pn叫做随机变量ξ的方差. (3)数学期望、方差的性质. ①E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a2D(ξ). ②X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). ③X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). 【方法指导】 1、求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值； （2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列； （3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）. 2、若 ～ 则用公式 求解数学期望和方差，可大大减少计算量； 3、有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用 以及 求出 ，同样还可以求出 。 4、随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，他们从整体和全局上刻画了随机变量，是实际生产中用于方案取舍的重要理论依据。 命题点一 会用定义求离散型随机变量的分布列 【典例1】太阳能热水器因节能环保而深受广大消费者的青睐，但它也有缺点——持续阴天或雨天便无法正常使用.为了解决这一缺陷，现在的太阳能热水器水箱上都安装了辅助电加热器，如果天气不好或冬季水温无法满足需要时，就可以通过辅助电加热器把水温升高，方便用户使用.某工厂响应“节能减排”的号召，决定把原来给锅炉加热的电热水器更换成电辅式太阳能热水器.电辅式太阳能热水器的耗电情况受当天的日照时长和日均气温影响，假设每天的日照情况和日均气温相互独立，该电辅式太阳能热水器每日耗电情况如下表所示： 日照情况 日均气温不低于15℃ 日均气温低于15℃ 日照充足 耗电0千瓦时 耗电5千瓦时 日照不足 耗电5千瓦时 耗电10千瓦时 日照严重不足 耗电15千瓦时 耗电20千瓦时 根据调查，当地每天日照充足的概率为 ，日照不足的概率为 ，日照严重不足的概率为 .2020年这一年的日均气温的频率分布直方图如图所示，区间分组为 ， ， ， ， ， . （1）求图中 的值，并求一年中日均气温不低于15℃的频率； （2）用频率估计概率，已知该工厂原来的电热水器平均每天耗电20千瓦时，试估计更换电辅式太阳能热水器后这一年能省多少电？（一年以365天计算） 【答案】（1） ， ；（2） 千瓦时. 【分析】 （1）根据频率分布直方图中频率和为1求出区间 的频率，再除以组距求得 的值，再利用长方形面积等于频率，求出不低于15℃的频率； （2）由（1）知一年中日均气温不低于15℃的概率的估计值为 ，低于15℃的概率的估计值为 ，分析题意可知，使用电辅式太阳能热水器日均耗电量 的可能取值为0，5，10，15，20，分别算出事件对应的概率，写出分布列，即可得出期望，得到使用电辅式太阳能热水器一天节省的电量，进而得到一年可以节省的电量. 【详解】 （1）依题意得 . 一年中日均气温不低于15℃的频率为 . （2）这一年中日均气温不低于15℃的概率的估计值为 ，一年中日均气温低于15℃的概率的估计值为 ， 设