2021届甘肃省兰州市高考一模考试数学（理）试题（图片版）

$ 2021 年高三诊断考试数学（理科）参考答案及评分标准 1．D 2．C 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．A 9．A 10．C 11．C 12．D 12．【解析】因为当 ( , 0)x 时 ' ( ) x x f x e e ，所以函数 ( ) ( ) x x g x f x e e 为 ( , 0) 上的 增函数，且函数 ( )f x 为定义在 R 上的偶函数，所以 ( ) ( ) x x g x f x e e 为 R 上的偶函数，又因为 1 2 3 (2 1) ( 1) ( 1)(1 ) x x x f x f x e e e ，即 2 1 2 1 1 1 (2 1) ( 1) x x x x f x e e f x e e 即 (2 1) ( 1)g x g x 所以有 2 1 1x x ，即 2 3 2 0x x ，所以 2 (0, ) 3 x 13．80，8(第 1 空 2 分，第二空 3 分) 14． 5 15．1 16． 23 16．【解析】如图所示虚线即为截面图形，根据边长可得周长为 23 17．【解析】（Ⅰ）因为 cos sin 2 A b a B ,所以 sin cos sin sin 2 A B A B ,即 1 sin 2 2 A 又因为 ABC 中 0 A ，所以 2 6 A ， 3 A ........6 分 （Ⅱ）因为点 D 是 BC 的中点，所以 1 ( ) 2 AD AB AC ， 所以 2 2 21 3 ( ) 4 4 AD b c bc bc ，又因为 1 sin 2 3 2 S bc A ，所以 8bc 即 6AD . 所以 BC 边中线 AD 的最小值为 6 ..............................12 分 18．【解析】（Ⅰ）由题可知 A 是 CD 的中点， ACAB = ， BCD 中 ADACAB == 所以 CBD 为直角三角形， = 90CBD 即 BDBC ⊥ 由题可知 36=PB ， 12=PC , 6=BC , 则有 222 BCPBPC += , PBBC ⊥ , BBDPB = 所以 ⊥BC 平面 PBD .......................................6 分 （Ⅱ）法一：由（Ⅰ）可知 ⊥BC 平面 PBD ，取 BD 中点为 G ，连接 AG , 则有 BCAG// ,所以 ⊥AG 平面 PBD ,作 PBGH ⊥ ,交 PB 于 H ，连接 AH ,则 AHG 即为二面角的平面角 由题可知 36=== PDBDPB ,则 2 9 =GH , 3 2 1 == BCAG 直 角 三 角 形 AGH 中 ， 2 13322 =+= AGGHAH 则 13 133 2 133 2 9 cos === AH GH AHG ,所以二面角 APBD −− 的余弦值为 13 133 . 法二：由（Ⅰ）可知 ⊥BC 平面 PBD ，如图以 B 为坐标原点， DB ，垂直于 DB 的直线，BC 分别为 zyx ,, 轴，建立空间直角坐标系， 则 )0,9,33(),3,0,33( == BPBA 设 平 面 PBA 的 一 个 法 向 量 ）（ zyxn ,, 1 = , 则     = = 0 0 1 1 BPn BAn 即     =+ =+ 0933 0333 yx zx ，令 1=y ，得 ），，（ 313 1 −=n 平面 PBD 的一个法向量 ），，（ 100 2 =n 设二面角 APBD −− 的大小为 ，则 13 133 13 3 ,coscos 21 21 21 ==   == nn nn nn 如图所示二面角为锐角，则二面角 APBD −− 的余弦值为 13 133 .................................12 分 19．【解析】（Ⅰ）设该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目为事件 A，该考生报考乙大学恰好通过一 门笔试科目为事件;，根据题意可知： 1 2 3 1 1 3 ( ) ( )( ) 2 2 8 P A C ， 21 1 5 2 1 21 7 ( ) ( ) 2 6 3 6 3 3 54 18 P B ....................5 分 （Ⅱ）设该考生报考甲大学通过的科目数为 X ，报考乙大学通过的科目数为 Y ，根据题意可知， 1 (3, ) 2 X B ，则 1 3 ( ) 3 2 2 E X 随机变量 Y 满足概率为： 5 1 5