专题02 三角形中的动点综合问题-2021年中考数学二轮难点突破+几何证明问题

专题02 三角形中的动点综合问题 1、已知：△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，a是最小的合数，b、c满足等式：|b﹣5|+（c﹣6）2＝0，点P是△ABC的边上一动点，点P从点B开始沿着△ABC的边按BA→AC→CB顺序顺时针移动一周，回到点B后停止，移动的路径为S，移动的速度为每秒3个单位．如图1所示． （1）试求出△ABC的周长； （2）当点P移动到AC边上时，化简：|S﹣4|+|3S﹣6|+|4S﹣45|； （3）如图2所示，若点Q是△ABC的边上一动点，P、Q两点分别从B、C同时出发，即当点P开始移动的时候，点Q从点C开始沿着△ABC的边顺时针移动，移动的速度为每秒5个单位，试问：当t为何值时，P、Q两点的路径（在三角形的边上的距离）相差为3？此时点P在△ABC的哪条边上？ 解：（1）∵a是最小的合数， ∴a＝4， ∵|b﹣5|+（c﹣6）2＝0， ∴b﹣5＝0，c﹣6＝0， ∴b＝5，c＝6， ∴BC＝4，AC＝5，AB＝6， ∴△ABC的周长＝BC+AC+AB＝4+5+6＝15； （2）∵点P移动到AC边上，AB+AC＝6+5＝11， ∴6≤S≤11， ∴S﹣4＞0，3S﹣6＞0，4S﹣45＜0， ∴|S﹣4|+|3S﹣6|+|4S﹣45|＝S﹣4+3S﹣6+45﹣4S＝35． （3）①按顺时针方向移动，若P在Q的前面， ∴3t+4﹣5t＝3， 解得：t＝． 此时点P在AB上． ②按顺时针方向移动，若Q在P的前面， ∴5t﹣4﹣3t＝3， 解得：t＝． 此时点P在AC上． 综合以上可得，当t为s或s时，P、Q两点的路径（在三角形的边上的距离）相差为3，此时点P分别在AB，AC上． 2、如图（1）AC⊥AB，BD⊥AB，AB＝12cm，AC＝BD＝8cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝2时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由； （2）在（1）的条件下，判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，并证明； （3）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝50°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）△ACP与△BPQ全等， 理由如下：当t＝2时，AP＝BQ＝4cm， 则BP＝12﹣4＝8cm， ∴BP＝AC＝8cm， 又∵∠A＝∠B＝90°， 在△ACP和△BPQ中， ， ∴△ACP≌△BPQ（SAS）． （2）PC⊥PQ， 证明：∵△ACP≌△BPQ， ∴∠ACP＝∠BPQ， ∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°． ∴∠CPQ＝90°， 即线段PC与线段PQ垂直． （3）①若△ACP≌△BPQ， 则AC＝BP，AP＝BQ， ∴12﹣2t＝8， 解得，t＝2（s）， 则x＝2（cm/s）． ②若△ACP≌△BQP， 则AC＝BQ，AP＝BP， 则2t＝×12， 解得，t＝3（s），则x＝8÷3＝（cm/s）， 故当t＝2s，x＝2cm/s或t＝3s，x＝cm/s时，△ACP与△BPQ全等． 3、在平面直角坐标系中，B（2，0），A（6，6），M（0，6），P点为y轴上一动点． （1）当P点在线段OM上运动时，试问是否存在一个点P使S△PAB＝13，若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． （2）当点P在y的正半轴上运动时（不包括O，M），∠PAM，∠APB，∠PBO三者之间是否存在某种数量关系，如果有，请利用所学的知识找出并证明；如果没有，请说明理由． 解：（1）存在，设P（0，m）． ∵S△PAB＝13，四边形AMOB是直角梯形， ∴•（6+2）•6﹣•m•2﹣•（6﹣m）•6＝13， ∴m＝， ∴P（0，）． （2）①如图2，当点P在线段OM上时，∠APB＝∠PAM+∠PBO；理由如下： 作PQ∥AM， 则PQ∥AM∥ON， ∴∠1＝∠PAM，∠2＝∠PBO， ∴∠1+∠2＝∠PAM+∠PBO， 即∠APB＝∠PAM+∠PBO； ②如图3，当点P在OM的延长线上时，∠PBO＝∠PAM+∠APB．理由如下： ∵AM∥OB， ∴∠4＝∠PBO， ∵∠4＝∠PAM+∠APB， ∴∠PBO＝∠PAM+∠APB． 4、如图（1），已知A（a，0），B（0，b），且满足a＝． （1）求A、B两点坐标； （2）在（1）的条件下，Q为直线AB上一点，且满足S△AOQ＝2S△BOQ，求Q点的纵坐标； （3）如图（2），E点在y轴上运动，且在B点上方，过E作AB的平行线，交x轴于点C，∠CEO的平分线与∠BAO的平分线