专题22 动点在二次函数中的综合（3）-2021年中考数学重难点专项突破（全国通用）

专题22 动点在二次函数中的综合（3） 1．阅读下面材料，并回答问题： 定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的所有点组成的图形叫抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 应用：（1）如图1，一条抛物线的焦点为F（0，1），准线为过点（0，﹣1）且平行于x轴的直线l；设点P（x，y）为抛物线上任意一点，小聪同学在应用定义求这条抛物线的解析式时作出了如下不完整的解答，请你将余下部分补充出来． 解：设点P（x，y）为抛物线上任意一点，作PM⊥l于点M，则PM＝　 　． 作PN⊥y轴于点N，则在△PFN中，有PN＝|x|，NF＝|y﹣1|，所以PF＝　 　． ∵PF＝PM ∴　 　＝　 　， 将方程两边同时平方，解得抛物线的解析式为　 　． （2）如图2，在（1）的条件下，点A（1，3）是坐标平面内一点，则△FAP的周长最小值为　 　． （3）在（1）（2）的条件下，如图3，点B（4，4）是坐标平面内另一点，过P作PH⊥l，垂足为H，连接PF和FH，问在抛物线上是否存在点P，使得以P，F，H为顶点的三角形与△ABO相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）设点P（x，y）为抛物线上任意一点，作PM⊥l于点M，则PM＝y+1． 作PN⊥y轴于点N，则在△PFN中，有PN＝|x|，NF＝|y﹣1|，所以PF＝． ∵PF＝PM， ∴＝y+1， 将方程两边同时平方，解得抛物线的解析式为 y＝x2． 故答案为：y+1，，y+1，，； （2）∵F（0，1），点A（1，3）， ∴AF＝＝， 如图2，过A作AB⊥直线l于B，交抛物线于P， 则此时，PA+PB＝PA+PF最小，且△FAP的周长最小值为＝4+， 故答案为：； （3）存在， ∵A（1，3），点B（4，4）， ∴AB＝＝，AO＝＝，OB＝＝4[来源:Zxxk.Com] ∴AB＝OA， ∵PF＝PH，假设存在这样的点P，使得以P，F，H为顶点的三角形与△ABO相似， 则PH与AB，FH与OB是对应边， ∴， 设点P（m，m2），则H为（m，﹣1）， ∴， 解得m＝±1， ∴点P坐标（1，）或（﹣1，）． 2．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求这个二次函数的关系解析式； （2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由； 解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2过点A（﹣3，0），B（1，0）， ∴ 解得， ∴二次函数的关系解析式为y＝﹣x2﹣x+2； （2）存在． ∵如图1所示，设点P坐标为（m，n），则n＝﹣m2﹣m+2． 连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N． 则PM＝﹣m2﹣m+2，PN＝﹣m，AO＝3． ∵当x＝0时，y＝﹣×0﹣×0+2＝2， ∴OC＝2， ∴S△PAC＝S△PAO+S△PCO﹣S△ACO ＝AO•PM+CO•PN﹣AO•CO ＝×3×（﹣m2﹣m+2）+×2×（﹣m）﹣×3×2 ＝﹣m2﹣3m ∵a＝﹣1＜0 ∴函数S△PAC＝﹣m2﹣3m有最大值 ∴当m＝﹣＝﹣时，S△PAC有最大值． ∴n＝﹣m2﹣m+2＝﹣×（﹣）2﹣×（﹣）+2＝， ∴存在点P（﹣，），使△PAC的面积最大． （3）如图2所示，以BC为边在两侧作正方形BCQ1Q2、正方形BCQ4Q3，则点Q1，Q2，Q3，Q4为符合题意要求的点．过Q1点作Q1D⊥y轴于点D，过点Q2作Q2E⊥x轴于点E， ∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∠3+∠4＝90°， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4， 在△Q1CD与△CBO中， ∵， ∴△Q1CD≌△CBO， ∴Q1D＝OC＝2，CD＝OB＝1， ∴OD＝OC+CD＝3， ∴Q1（2，3）； 同理可得Q4（﹣2，1）； 同理可证△CBO≌△BQ2E， ∴BE＝OC＝2，Q2E＝OB＝1， ∴OE＝OB+BE＝1+2＝3， ∴Q2（3，1）， 同理，Q3（﹣1，﹣1）， ∴存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形．Q点坐标为：Q1（2，3），Q2（3，1），Q3（﹣1，﹣1），Q4（﹣2，1）． 3．如图，抛物线y＝ax2+bx+3过点A（1，0），B（3，0），与y轴相交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点E为抛物线对称轴上的一点，请探索抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若