专题3.2 空间向量的应用-2020-2021学年高二数学课时同步练（苏教版选修2-1）

第三单元 空间向量与立体几何 专题3.2 空间向量的应用 基础巩固 一、单选题（共12小题） 1.已知A（1，2），B（3，4），C（﹣2，2），D（﹣3，5），则向量在上的投影为（　　） A． B． C． D． 2.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是上底棱的中点，AB1与平面B1D1EF所成的角的大小是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 3.在棱长为1的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，已知点P是正方形AA'D'D内部（不含边界）的一个动点，若直线AP与平面AA'B'B所成角的正弦值和异面直线AP与DC'所成角的余弦值相等，则线段DP长度的最小值是（　　） A． B． C． D． 4.如图，在睨长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱CC1上的动点（包含端点C1），过点P作平面α分别与棱BC，CD交于M，N两点，若CP＝2CM＝2CN，则下列说法正确的是（　　） A．当点P与C1重合时，直线A1C与平面α的交点恰好是△PMN的重心 B．存在点P，使得A1C⊥平面α C．点A1到平面α的距离最小为 D．用过P，M，A三点的平面截正方体，所得截面与棱A1D1的交点随点P而改变 5.如图，在三棱锥A﹣BCD中，点F在棱AD上，且AF＝3FD，E为BC中点，则等于（　　） A． B． C． D． 6.已知＝（2，﹣1，3），＝（﹣1，4，﹣2），＝（3，2，λ），若、、三向量共面，则实数λ等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 7.已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为（　　） A．60° B．120° C．60°或120° D．90° 8.已知非零在非零方向上的投影是m，m∈R，下列说法正确的是（　　） A．在方向上的投影一定是m B．在方向上的投影一定是km C．在方向上的投影一定是km D．在方向上的投影一定m 9.已知＝（1，5，﹣2），＝（3，1，z），若⊥，＝（x﹣1，y，﹣3），且BP⊥平面ABC，则实数x、y、z分别为（　　） A．，﹣，4 B．，﹣，4 C．，﹣2，4 D．4，，﹣15 10.平面α的一个法向量为1＝（1，2，1），平面β的一个法向量为2＝（﹣2，﹣4，10），则平面α与平面β（　　） A．平行 B．垂直 C．相交 D．不确定 11.平行四边形ABCD中，，在上投影的数量分别为3，﹣1，则在上的投影的取值范围是（　　） A．（﹣l，+∞） B．（﹣1，3） C．（0，+∞） D．（0，3） 12.如图，单位正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列说法错误的是（　　） A．BD1⊥B1C B．若，则PE∥A1B C．若点B1、A、D、C在球心为O的球面上，则点A、C在该球面上的球面距离为 D．若，则A1P、BE、AD三线共点 二、填空题（共4小题） 13.设向量＝（1，﹣1），＝（m+1，2m﹣4），若⊥，则m＝　　． 14.设平面α的法向量为（1，2，﹣2），平面β的法向量为（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k＝　　． 15.设平面α与向量垂直，平面β与向量垂直，则平面α与β位置关系是　　　　． 16.已知平面向量＝（2m﹣1，2），＝（﹣2，3m﹣2），且||＝|﹣|．则5﹣3在向量上的投影等于　　　　　　． 拓展提升 三、解答题（共6小题） 17.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为6的等边三角形，D，E分别为AA1，BC的中点． （1）证明：AE∥平面BDC1； （2）若异面直线BC1与AC所成角的余弦值为．求DE与平面BDC1所成角的正弦值． 18.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAB⊥底面ABCD，H为棱AB的中点，E为棱DC上任意一点，且不与D点、C点重合．AB＝2，AD＝PA＝1，PH＝． （Ⅰ）求证：平面APE⊥平面ABCD； （Ⅱ）是否存在点E使得平面APE与平面PHC所成的角的余弦值为？若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由． 19.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD＝1，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F． （1）证明：PA∥平面EDB； （2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求PA与面ABCD所成角的正弦值． 20.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE． （1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置； （2）求直