专题 6.1.4 求导法则及其应用 题型分析-2020-2021学年高中数学同步备课学案（2019人教B版选择性必修第三册）

专题　6.1.4 求导法则及其应用 题型分析 专题一 利用运算法则求导数 例1 求下列函数的导数． (1)y＝x2· sinx＋cosx；(2)y＝eq \f(lnx,x＋1)；(3)f(x)＝(x3＋1)(2x2＋8x－5)；(4)f(x)＝eq \f(1＋\r(x),1－\r(x))＋eq \f(1－\r(x),1＋\r(x)) . 解析　(1)y′＝(x2 sinx＋cosx)′＝(x2 sinx)′＋(cosx)′ ＝2x sinx＋x2cosx－ sinx＝(2x－1) sinx＋x2cosx. (2)y′＝(eq \f(lnx,x＋1))′＝eq \f(\f(1,x)x＋1－lnx,x＋12)＝eq \f(1－lnx＋\f(1,x),x＋12)＝eq \f(x－xlnx＋1,xx＋12). (3)∵f(x)＝(x3＋1)(2x2＋8x－5)＝2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5， ∴f′(x)＝(2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5)′＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8. (4)∵f(x)＝eq \f(1＋\r(x),1－\r(x))＋eq \f(1－\r(x),1＋\r(x))＝eq \f(1＋\r(x)2,1－x)＋eq \f(1－\r(x)2,1－x)＝eq \f(21＋x,1－x)＝eq \f(4,1－x)－2， ∴f′(x)＝(eq \f(4,1－x)－2)′＝eq \f(4′1－x－41－x′,1－x2)＝eq \f(4,1－x2). 答案 (1) (2x－1) sinx＋x2cosx (2) eq \f(x－xlnx＋1,xx＋12) (3) 10x4＋32x3－15x2＋4x＋8 (4) eq \f(4,(1－x)2) 归纳总结：运用求导法则和导数公式求可导函数的导数，一定要先分析函数y＝f(x)的结构特征，对于直接求导很繁琐的，一定要先化简，再求导. 专题二 复合函数的导数 例2 写出下列各函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则，求出函数的导数． (1)y＝eq \f(1,3－4x4)；(2)y＝cos(2 008x＋8)；(3)y＝21－3x；(4)y＝ln(8x＋6)． 解析　(1)引入中间变量u＝φ(x)＝3－4x. 则函数y＝eq \f