6.2.2 导数与函数的极值、最值（学案）-2020-2021学年高中数学同步备课学案（2019人教B版选择性必修第三册）

6.2.2 导数与函数的极值、最值 知识点归纳 知识点一、极值点与极值 1．极小值点与极小值：若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值：若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其它点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．对函数极值概念的理解 (1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的． (2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点． (3)若f(x)在[a，b]内有极值，则f(x)在[a，b]内绝不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数没有极值． (4)极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值，即极小值不一定比极大值小，极大值也不一定比极小值大．(如图所示) (5)若函数f(x)在[a，b]上有极值，它的极值点的分布是有规律的(如图所示)，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点． 4．函数极值的求法 求函数y＝f(x)的极值的方法是：解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时 (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么，f(x0)是极大值． (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么，f(x0)是极小值． 5．极值点与导数的关系 (1)可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点． (2)不可导点可能是极值点，也可能不是极值点． (3)导数为0是极值点：y＝x2，y′(0)＝0，x＝0是极小值点． (4)导数为0但不是极值点：y＝x3，y′(0)＝0，x＝0不是极值点． (5)不可导点是极值点：y＝|sin x|，x＝0不可导，是极小值点． (6)不可导点不是极值点：y＝xeq \f(1,3)，x＝0不可导，不是极值点． 6．求可导函数y＝f(x)极值的