6.1.2 导数及其几何意义（学案）-2020-2021学年高中数学同步备课学案（2019人教B版选择性必修第三册）

6.1.2 导数及其几何意义 知识点归纳 知识点一、瞬时变化率与导数 1．物体运动的瞬时速度：设物体运动路程与时间的关系是s＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率趋近于常数，我们把这个常数称为t0时刻的瞬时速度． 2．函数在某点的瞬时变化率：设函数y＝f(x)在x0及其附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变量为Δx时，函数值相应地改变Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，如果当Δx趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数l，那么常数l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率． ＝ 记作：当Δx→0时，→l. 还可以说：当Δx→0时，函数平均变化率的极限等于函数在x0的瞬时变化率l，记作＝l. 3．函数f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率，通常称为f(x)在点x0处的导数，并记作f′(x0)，即f′(x0)＝. 4．函数的导数： (1)函数可导的定义： 如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)内可导． (2)导函数的定义： 若f(x)在区间(a，b)内可导，则对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)，于是在区间(a，b)内f′(x)构成一个新的函数，把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数，记为f′(x)(或y′x、y′)．导函数通常简称为导数. 知识点二、导数的几何意义 1．导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝f′(x0)＝. 2．导函数：从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′.即f′(x)＝y′＝. 3．割线的斜率：已知y＝f(x)图象上的两点A(x0，f(x0))，B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))，过A、B两点割线的斜率是，即曲线割线的斜率就是函数的平均变化率． ＝ 4．利用导数的几何意义求切线方程的方法 (1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过