专题 5.1.2 数列中的递推 题型分析-2020-2021学年高中数学同步备课学案（2019人教B版选择性必修第三册）

专题　5.1.2 数列中的递推 题型分析 专题一 数列的函数特性　 例1 已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(n,n2＋1)，写出它的前5项，并判断该数列的单调性． 解析　对于公式an＝eq \f(n,n2＋1)，依次取n＝1,2,3,4,5，得到数列的前5项为a1＝eq \f(1,2)，a2＝eq \f(2,5)，a3＝eq \f(3,10)，a4＝eq \f(4,17)，a5＝eq \f(5,26).而an＋1－an＝eq \f(n＋1,n＋12＋1)－eq \f(n,n2＋1)＝eq \f(1－n2－n,[n＋12＋1]n2＋1). 因为n∈N＋，所以1－n2－n<0，所以an＋1－an<0，即an＋1<an，故该数列为递减数列. 答案 递减数列 归纳总结：判断数列的单调性，一般是将其转化为比较相邻两项的大小，常用的方法有作差法和作商法．作商法适用于数列的各项都是同号的数列，用作差法还是作商法视具体情况而定. 专题二 由数列的递推公式写出数列的项 例2 数列{an}中，a1＝1，a2＝3，aeq \o\al(2,n＋1)－anan＋2＝(－1)n，求{an}的前5项． 解析　由aeq \o\al(2,n＋1)－anan＋2＝(－1)n，得an＋2＝eq \f(a\o\al(2,n＋1)－－1n,an)，又∵a1＝1，a2＝3，∴a3＝eq \f(a\o\al(2,2)－－11,a1)＝eq \f(32＋1,1)＝10，a4＝eq \f(a\o\al(2,3)－－12,a2)＝eq \f(102－1,3)＝33，a5＝eq \f(a\o\al(2,4)－－13,a3)＝eq \f(332＋1,10)＝109.∴数列{an}的前5项为1,3,10,33,109. 答案 1,3,10,33,109 归纳总结：由递推公式求数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可． (2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式． (3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式． 专题三 累加法求形如an＋1＝an＋f(n)的通项 例3 已知数列{an}，a1＝1，an＝an－1＋eq \f(1,nn－1)(n≥2)，求数列