5.4 数列的应用（课后作业）-2020-2021学年高中数学同步备课学案（2019人教B版选择性必修第三册）

课后作业 5.4 数列的应用 1.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1到2 019这2 019个数中,能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则此数列所有项中,中间项的值为(　　) A.992 B.1 022 C.1 007 D.1 037 解析 将题目转化为an-2既是3的倍数,也是5的倍数,也就是15的倍数. 即an-2=15(n-1),an=15n-13. 当n=135,a135=15×135-13=2 012<2 019, 当n=136,a136=15×136-13=2 027>2 019, 故n=1,2,…,135,数列共有135项. 因此数列中间项为第68项,a68=15×68-13=1 007. 故答案为C. 答案 C 2.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚五尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢,各穿几何.”翻译过来就是:有五尺厚的墙,两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙,大、小鼠第一天都进一尺,以后每天,大鼠加倍,小鼠减半,则几天后两鼠相遇.这个问题体现了古代对数列问题的研究,现将墙的厚度改为1 200尺,则需要多少天时间才能打穿(结果取整数)(　　) A.12 B.11 C.10 D.9 解析 大鼠和小鼠每天穿墙尺寸分别构成数列{an},{bn},它们都是等比数列,a1=b1=1,数列{an}的公比为q1=2,数列{bn}的公比为q2=,设需要n天能打穿墙, 则(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn)==2n+1-, 当n=10时,2n+1-=1 025-≈1 025<1 200, 当n=11时,2n+1-=2 049-≈2 049>1 200, 因此需要11天才能打穿.故选B. 答案 B 3.在超市中购买一个卷筒纸,其内圆直径为4 cm,外圆直径为12 cm,一共卷60层,若把各层都视为一个同心圆,令π=3.14,则这个卷筒纸的长度(精确到个位)为(