第五章 数列 章末总结（学案）-2020-2021学年高中数学同步备课学案（2019人教B版选择性必修第三册）

第五章 数列 章末总结 要点归纳 典例分析 一、观察法求数列的通项公式 例1 写出下面各数列的一个通项公式： (1)eq \f(1,2)，eq \f(4,5)，eq \f(9,10)，eq \f(16,17)，…；(2)1，－eq \f(1,3)，eq \f(1,7)，－eq \f(1,15)，eq \f(1,31)，…； (3)21,203,2 005,20 007，…. 解析　(1)注意各项的分子分别是12,22,32,42，…，分母比分子大1， ∴该数列的通项公式为an＝eq \f(n2,n2＋1). (2)奇数项为正，偶数项为负，可用(－1)n＋1来实现，而各项分母可看作21－1＝1,22－1＝3,23－1＝7,24－1＝15,25－1＝31，…，各项分子均为1， ∴该数列的通项公式为an＝(－1)n＋1·eq \f(1,2n－1). (3)各项可看作21＝2×10＋1,203＝2×100＋3,2 005＝2×1 000＋5,20 007＝2×10 000＋7，∴该数列的通项公式为an＝2×10n＋(2n－1)． 答案 (1) eq \f(n2,n2＋1) (2) (－1)n＋1·eq \f(1,2n－1) (3) 2×10n＋(2n－1) 归纳总结：一般地，已知数列的前几项求数列的通项公式，可用观察归纳法求解．观察时要注意符号规律，增减规律，必要时先统一其大小关系或分子分母的变化规律．整理成相同的结构形式．横向看各项之间的关系，纵向看各项与其项数n之间的关系，从而归纳得出结论． 二、已知an＋1＝pan＋q，求通项公式 例2 数列{an}中，an＋1＝2an＋1，且a1＝1，求通项公式an. 解析　解法一：(迭代法) an＝2an－1＋1＝2(2an－2＋1)＋1＝22an－2＋2×1＋1＝23an－3＋22×1＋2×1＋1＝…＝2n－1a1＋(2n－2＋2n－3＋…＋2＋1)＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝2n－1. 解法二：(待定系数法) 由an＋1＝2an＋1，设an＋1＋k＝2(an＋k)，∴an＋1＝2an＋k，∴k＝1， ∴{an＋1}为等比数列，∴a1＋1＝2，公比为2， ∴an＋1＝2×2n－1，∴an＝2n－1. 解法三：(累加法) an＋1＝2an＋1，① an＝2an－1＋1，② 得an＋1－an＝2(an－an