5.3.2 等比数列的前 n项和（学案）-2020-2021学年高中数学同步备课学案（2019人教B版选择性必修第三册）

5.3.2 等比数列的前 n项和 知识点归纳 知识点一、等比数列的前n项和公式 等比数列的前n项和公式 已知量 首项a1与公比q 首项a1，末项an与公比q 公式 Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(na1q＝1，,\f(a11－qn,1－q)q≠1)) Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(na1q＝1，,\f(a1－anq,1－q)q≠1)) 知识点二、等比数列前n项和的性质 1．在等比数列的前n项和公式Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)中，如果令A＝eq \f(a1,q－1)，那么Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，n∈N*)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔数列{an}为等比数列． 2．等比数列{an}中，若项数为2n，则eq \f(S偶,S奇)＝q(S奇≠0)；若项数为2n＋1，则eq \f(S奇－a1,S偶)＝q(S偶≠0). 3．涉及Sn，S2n，S3n，…的关系或Sn与Sm的关系考虑应用以下两个性质 (1)等比数列前n项和为Sn(且Sn≠0)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn(q≠－1)． (2)等比数列{an}的公比为q，则Sn＋m＝Sn＋qnSm. 4．错位相减法 (1)推导等比数列前n项和的方法 一般地，等比数列{an}的前n项和可写为：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1， ① 用公比q乘①的两边，可得qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn， ② 由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，整理得Sn＝(q≠1)． (2)我们把上述方法叫错位相减法，一般适用于数列{an·bn}前n项和的求解，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且q≠1. 典例分析 一、等比数列前n项和的基本计算 例1　在等比数列{an}中， (1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n； (2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝eq \f(5,4)，求a4和S5； (3)若a3＝eq \f(3,2)，S3＝eq \f(9,2)，求a1和公比q. 解析　(1)由Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)，an＝a1qn－1以及已知条件， 得eq \b\lc\{