5.1.2 数列中的递推（学案）-2020-2021学年高中数学同步备课学案（2019人教B版选择性必修第三册）

5.1.2 数列中的递推 知识点归纳 知识点一、数列递推公式 1．两个条件：①已知数列的第1项(或前几项)；②从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项) (n≥2)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式． 2．结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式． 知识点二、数列的表示方法 数列的表示方法：①图象法；②列表法；③通项公式法；④递推公式法． 知识点三、数列递推公式与通项公式的关系 递推公式 通项公式 区别 表示an与它的前一项an－1 (或前几项)之间的关系 表示an与n之间的关系 联系 (1)都是表示数列的一种方法； (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 知识点四、数列的前n项和的概念 1．数列的前n项和的概念：一般地，我们称a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an. 2．数列的前n项和与通项公式的关系：an＝ 知识点五、判断数列增减性的方法 1．作差法，将an＋1－an与0进行比较； 2．作商法，将eq \f(an＋1,an)与1进行比较(在作商时，要注意an<0还是an>0)． 知识点六、给出了递推公式求通项公式的方法 1．求形如an＋1＝an＋f(n)的通项公式：将原来的递推公式转化为an＋1－an＝f(n)，再用累加法(逐差相加法)求解，即an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n－1)． 2．求形如an＋1＝f(n)an的通项公式：将原递推公式转化为eq \f(an＋1,an)＝f(n)，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由eq \f(a2,a1)＝f(1)，eq \f(a3,a2)＝f(2)，…，eq \f(an,an－1)＝f(n－1)，累乘可得eq \f(an,a1)＝f(1)f(2)…f(n－1)． 3．{an}为周期数列，则周期为T(T为正整数)时，an＝an＋T，可将an转化为a1，a2，…，aT处理． 4．单调性是数列的一个重要性质．若an＋1>an恒成立，则{an}为递增数列；若an＋1<an恒成立，则{an}为递减数列．判断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法判断an＋1与an(n∈N*)的大小．用作差(商)法判断