精做03 概率与统计-备战2021年高考数学大题精做（新高考专用）

精做03概率与统计 一、概率 (一)古典概型 【例1】（2021. 湘豫名校高三1月月考）某餐厅提供自助餐和点餐两种服务,其单人平均消费相近,为了进一步提高菜品及服务质量,餐厅从某日中午就餐的顾客中随机抽取了100人作为样本,得到以下数据表格． （单位：人次） 满意度 老年人 中年人 青年人 自助餐 点餐 自助餐 点餐 自助餐 点餐 10分（满意） 12 1 20 2 20 1 5分（一般） 2 2 6 3 4 12 0分（不满意） 1 1 6 2 3 2 （1）由样本数据分析,三种年龄层次的人群中,哪一类更倾向于选择自助餐? （2）为了和顾客进行深人沟通交流,餐厅经理从点餐不满意的顾客中选取2人进行交流,求两人都是中年人的概率； （3）若你朋友选择到该餐厅就餐,根据表中的数据,你会建议你朋友选择哪种就餐方式? 【解析】（1）由题知,老年人选择自助餐的频率, 中年人选择自助餐的频率, 青年人选择自助餐的频率, 则, 即中年人更倾向于选择自助餐． （2）点餐不满意的人群中,老年人1人（设为）,中年人2人（设为,）,青年人2人（设为,）． 从中选取2人,其基本事件有,,,,, ,,,,,共10个 基本事件,其中2人都是中年人仅有一个符合题意； 故两人都是中年人的概率为． （3）由表可知,自助餐满意的均值为：． 点餐满意的均值为： ,故建议其选择自助餐． 利用古典概型求事件A的概率,关键是要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.如果基本事件的个数比较少,可用列举法把古典概型试验所含的基本事件一一列举出来,然后再求出事件A中的基本事件数,利用公式P(A)＝求出事件A的概率,注意列举时必须按照某一顺序做到不重不漏；如果基本事件个数比较多,列举有一定困难时,也可借助两个计数原理及排列组合知识直接计算m,n,再运用公式P(A)＝求概率. 2.对于复杂概率的计算一般要先设出事件,准确地确定事件的性质,常见的处理方法有： ①转化为几个互斥事件的和,利用互斥事件的加法公式求解； ②采用间接法,先求事件A的对立事件的概率,再由P(A)＝1－P()求事件A的概率. 【对点训练1】（2021. 江西省赣州市高三期末）一黑色袋里装有除颜色不同外其余均相同的8个小球,其中白色球与黄色球各3个,红色球与绿色球各1个.现甲、乙两人进行摸球得分比赛,摸到白球每个记1分、黄球每个记2分、红球每个记3分、绿球每个记4分,以得分高获胜.比赛规则如下：①只能一个人摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先从袋中摸出1球；若摸出的是绿色球,则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球,则再从袋子里摸出3个球,他的得分为两次摸出的球的记分之和；④剩下的球归对方,得分为剩下的球的记分之和. （1）若甲第一次摸出了绿色球,求甲的得分不低于乙的得分的概率； （2）如果乙先摸出了红色球,求乙得分的分布列和数学期望. 【解析】（1）记“甲第一次摸出了绿色球,甲的得分不低于乙的得分”为事件,因为球的总分为16,即事件指的是甲的得分大于等于8 则 （2）如果乙第一次摸出红球,则可以再从袋子里摸出3个小球,则得分情况有：6分、7分、8分、9分、10分、11分等 所以的分布列为： 6 7 8 9 10 11 所以的数学期望． (二)相互独立事件的概率 【例2】（2021. 湖北省武汉市高三1月质量检测）公元年,法国一位著名的统计学家德梅赫(Demere)向另一位著名的数学家帕斯卡(B.Pascal)提请了一个问题,帕斯卡和费马(Fermat)讨论了这个问题,后来惠更斯(C.Huygens)也加入了讨论,这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答.该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢局,谁便赢得全部赌注元.每局甲赢的概率为,乙赢的概率为,且每局赌博相互独立.在甲赢了局,乙赢了局时,赌博意外终止.赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢局则赌博意外终止的情况,甲、乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比分配赌注. （1）规定如果出现无人先赢局则赌博意外终止的情况,甲、乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比分配赌注.若,,,,,则甲应分得多少赌注？ （2）记事件为“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”,试求当,,时赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率,并判断当时,事件是否为小概率事件,并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于,则称该随机事件为小概率事件. 【解析】（1）设赌博再继续进行局甲赢得全部赌注,则最后一局必然甲赢. 由题意知,最多再进行局,甲、乙必然有人赢得全部赌注. 当时,甲以赢,所以； 当时,甲以赢,所以； 当时,甲