精做02 三角函数与解三角形-备战2021年高考数学大题精做（新高考专用）

精做02三角函数与解三角形 一、三角变换及三角函数的图象与性质 【例1】（2021. 安徽省六安市高三质量检测）已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,再把图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,当时,求函数的值域． 【解析】（1）, 由,解得． 函数的单调增区间为； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）, 得到函数的图象 , 再把所得函数图象向右平移个单位长度,得到函数 由时,可得,所以,, 可得函数在上的值域为. (1)求函数在区间上值域的一般步骤： 第一步：先利用二倍角公式降幂,然后利用辅助角公式把三角函数式化成形如的形式或的形式（研究函数的单调性也利用这种变换）； 第二步：由的取值范围确定的取值范围,再确定（或)的取值范围； 第三步：求出所求函数的值域（或最值）. (2)的横坐标伸长（或缩短）到原来的倍,得到函数的解析式是,若向右（或左）平移（）个单位,得到函数的解析式是或. 【对点训练1】（2021.浙江省绍兴市高三期末）已知函数的部分图像如图所示,为该图像的最高点. （1）若,求的值； （2）若,的坐标为,求的解析式. 【解析】（1）由题设可知,由,则 在中,,则, 所以, , 由余弦定理可得：. （2）由,的坐标为,所以在, 易知,,所以, 又,则 又,所以,所以. 二、解三角形 (一)解三角形 【例2】（2021.湖北省新高考九师联盟高三2月联考）在中,角的对边分别为为的中线, （1）求角的大小； （2）求的长. 【解析】（1）在中,由余弦定理得, 所以所以 由正弦定理得, 所以 即 所以 因为所以所以, 又所以. （2）因为所以. 因为 因为 所以所以 在中, 即 所以. (1) 应用正弦、余弦定理的解题技巧 ①求边：利用公式a＝,b＝,c＝或其他相应变形公式求解． ②求角：先求出正弦值,再求角,即利用公式sin A＝,sin B＝,sin C＝或其他相应变形公式求解． ③已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解． ④灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理,等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理． (2) 对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．求三角形面积的最大值是一种常见类型,主要方法有两类,一是找到边之间的关系,利用基本不等式求最值,二是利用正弦定理,转化为关于某个角的函数,利用函数思想求最值. 【对点训练2】(2021. 福建省泉州市高三第三次联考) 在①,②,③,这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题. 已知的内角,,的对边分别为,,,___________,,,求的面积. 【解析】（1）若选择①, 由余弦定理,, 因为,所以； 由正弦定理,得, 因为,,所以, 所以 所以. （2）若选择②,则, 因为,所以, 因为,所以； 由正弦定理,得, 因为,,所以, 所以, 所以. （3）若选择③, 则,所以, 因为,所以, 所以,所以； 由正弦定理,得, 因为,,所以, 所以, 所以. (二)以四边形或多个三角形为背景的解三角形问题 【例3】（2021. 江苏省南通市如皋市高三期末）从①的面积；②这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中进行求解.如图,在平面四边形中,,,对角线平分,且____________________,求线段的长. 注：如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分. 【解析】选①, ∴ ∴ ,. 选②,过点作延长线的垂线,垂足于 因为,所以,所以 因为对角线平分,所以 所以 求解四边形中的三角形问题或多个三角形问题,一般要先根据已知的边角画出图形并在图中标示,然后选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理,求解过程中要注意以下结论的应用：（1）两个三角形的公共边可以在两个三角形中同时使用；（2）三角形的一个内角与其外角互补等平面几何性质的应用. 【对点训练3】(2021. 河南省九师联盟高三上学期质量检测) 如图,在中,,,,P是内一点,且. （1）若,求线段的长度； （2）若,设,求. 【解析】（1）因为, 所以在中,,,,所以； 在中,,,, 由余弦定理,得, 所以； （2）由,得, 在中,,,,所以, 在中,,,,, 由正弦定理得, 所以,又,所以, 由,得． 三、解三角形在实际问题中的应用 【例4】（2021. 湖北省随州市高三月考）一经济作物示范园的平面图如图所示,半圆的直径,点在的延长线上,,点为半圆上异于两点的一个动点,以点为直角顶点作等腰直角,且点与圆心分布在的两侧,设. （1）把线段的长表示为的函数； （2）现要在和内分别种植甲､乙两种经济作物. 这两种作物单位面