类型三 与全等三角形有关的实际应用-2021年《三步冲刺中考·数学》（陕西专用）之第2步大题夺高分

第二步 大题夺高分 类型三与全等三角形有关的实际应用 1、如图所示，公园里有一条“Z”字形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB、BC、CD三段路旁各有一只小石凳E、M、F，M恰好为BC的中点，且E、F、M在同一直线上，在BE道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B、E之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理． 【思路点拨】先根据SAS判定△BEM≌△CFM，从而得出CF=BE，即测量BE之间的距离相当于测量CF之间的距离． 【解析】 解：能． 证明：连接EF ∵AB∥CD，（已知） ∴∠B=∠C（两线平行内错角相等）． ∵M是BC中点 ∴BM=CM， 在△BEM和△CFM中， ∴△BEM≌△CFM（SAS）． ∴CF=BE（对应边相等）． 2、为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=38°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=52°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为DB=33米，计算楼高AB是多少米？ 【思路点拨】利用全等三角形的判定方法得出△CPD≌△PAB（ASA），进而得出AB的长． 【解析】 解：∵∠CPD=38°，∠APB=52°，∠CDP=∠ABP=90°， ∴∠DCP=∠APB=52°， 在△CPD和△PAB中 ∵， ∴△CPD≌△PAB（ASA）， ∴DP=AB， ∵DB=33，PB=8， ∴AB=33﹣8=25（m）， 答：楼高AB是25米． 3．在湖的两岸A、B间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A、B两点间的距离．请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案． （1）画出测量图案； （2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）； （3）计算AB的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）． 【解析】 解：（1）见图： （2）在湖岸上选一点O，连接BO并延长到C使BO=OC，连接AO并延长到点D使OD=AO，连接CD，则AB=CD．测量DC的长度即为AB的长度； （3）设DC=m ∵BO=CO，∠AOB=∠COD，AO=DO ∴△AOB≌△COD （SAS） ∴AB=CD=m． 4、如图为紫舞公园中的揽月湖，现在测量揽月湖两旁A、B两棵大树间的距离（不得直接量得）．请你根据三角形全等的知识，用几根足够长的绳子及标杆为工具，设计一种测量方案． 要求：（1）画出设计的测量示意图； （2）写出测量方案的理由． 【思路点拨】（1）本题属于主观性试题，有多种方案，我们可以构造8字形的全等三角形来测得揽月湖的长度（如下图）； （2）根据三角形全等的证明得出对应边相等即可得出答案． 【答案与解析】 解：（1）如图所示； 分别以点A、点B为端点，作AQ、BP， 使其相交于点C， 使得CP=CB，CQ=CA，连接PQ， 测得PQ即可得出AB的长度． （2）理由：由上面可知：PC=BC，QC=AC， 又∠PCQ=∠BCA， ∴在△PCQ与△BCA中， ， ∴△PCQ≌△BCA（SAS）， ∴AB=PQ． 5.有一座小山，现要在小山A、B的两端开一条隧道，施工队要知道A、B两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长，就是A、B的距离，你能说说其中的道理吗？ 【解析】 解：在△ABC和△CED中， AC=CD，∠ACB=∠ECD（对顶角），EC=BC， ∴△ABC≌△DEC， ∴AB=ED， 即量出DE的长，就是A、B的距离. 6.如图，小叶和小丽两家分别位于A、B两处隔河相望，要测得两家之间的距离，请你设计出测量方案． 【答案】本题的测量方案实际上是利用三角形全等的知识构造两个全等三角形，是一个三角形在河岸的同一边，通过测量这个三角形中与AB相等的线段的长，从而得知两家的距离． 解：在点B所在的河岸上取点C，连结BC，使CD=CB，利用测角仪器使得∠B=∠D，且A、C、E三点在同一直线上，测量出DE的长，就是AB的长． 在△ABC和△ECD中 ∴△ABC≌△ECD（ASA） ∴AB=DE． 【总结升华】对于实际应用问题，首先要能将它化成数学模型，再根据数学知识去解决． 由已知易证△ABC≌△ECD，可得AB=DE，所以测得DE的长也就知道两家的距离是多少． 7．如图所示，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，因无法直接量出A、B两点的距离，请你设计一种方案，求出A、B的距离，并说明理由． 【答案】：在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC， 再作出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上， 这时测得的DE的长就是AB的长．作出的图形如图所示： ∵AB⊥BF ED⊥BF ∴∠ABC=∠