类型二 与相似三角形有关的实际应用-2021年《三步冲刺中考·数学》（陕西专用）之第2步大题夺高分

第二步 大题夺高分 类型二与相似三角形有关的实际应用 1.如图，要测量某建筑物的高度AB，立两根高为2m的标杆BC和DE，两竿相距BD=38m，D、B、H三点共线，从BC退行3m，到达点F，从点F看点A，A、C、F三点共线，从DE退行5m到达点G，从点G看点A，A、E、G三点也共线，试算出建筑物的高度AB及HB的长度． 【答案】：解：设BH=x，AH=y，根据题意可得： BC∥AH，DE∥AH， 则△FCB∽△FAH，△EDG∽△AHG， 故=，=， 即=，=， 则=， 解得：x=57， 故=， 解得：y=40， 答：建筑物的高度AB为40m及HB的长度为57m． 2.如图，路灯A离地8米，身高1.6米的小王（C D）的影长DB与身高一样，现在他沿OD方向走10米，到达E处． （1）请画出小王在E处的影子EH； （2）求EH的长． 【答案】：解：（1）如图： （2分）． （2）由=（3分） ∴OB=8米（4分）， ∴OE=16.4米． 由=（5分） 即=．（7分） ∴EH=4.1米．（8分）　 3.如图，△ABC是一块三角形余料，AB=AC=13cm，BC=10cm，现在要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在△ABC的边上，其余两个顶点分别在三角形另外两条边上．试求正方形的边长是多少？ 　【答案】：解：∵△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm， ∴AD=12， ∵四边形DEFG是正方形， ∴ED∥BC，DE=GF，（1分） ∴△AED∽△ACB，（1分） 又∵AN⊥BC， ∴AN⊥DE，DG=ED=EF，（1分） ∴，（2分） 设DE=x，则AM=12﹣x， ∴，（1分） 解得：x=． 答：这个正方形的边长为厘米．（1分） 　 4.有一块两直角边长分别为3cm和4cm的直角三角形铁皮，要利用它来裁剪一个正方形，有两种方法：一种是正方形的一边在直角三角形的斜边上，另两个顶点在两条直角边上，如图（1）；另一种是一组邻边在直角三角形的两直角边上，另一个顶点在斜边上，如图（2）．两种情形下正方形的面积哪个大？ 【答案】：解：（1）因为△ABC为直角三角形，边长分别为3cm和4cm，则AB==5． 作AB边上的高CH，交DG于点Q． 于是=， 故CH=cm． 易得：△DCG∽△ACB， 故：=． 设正方形DEFG的边长为xcm， 得：=， 解得：x=． （2）令AC=3cm，设正方形边长为ycm． 易得：△ADE∽△ACB， 于是：=， =， 解得：y=． ∵＜， ∴第二种情形下正方形的面积大． 　 5.求证：一个人在两个高度相同的路灯之间行走，他前后的两个影子的长度之和是一个定值． 　 【答案】：．解：如图所示，CD、EF为路灯高度，AB为该人高度，BM、BN为该人前后的两个影子． ∵AB∥CD， ∴=， ∴=， 即 MB=． 同理BN=． ∴MB+BN==常数（定值）． 6.某居民小区有一朝向为正南的居民楼（如图），该居民楼的一楼是高为6米的小区超市，超市以上是居民住房．在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼．当冬季正午的阳光与水平线的夹角是30°时． （1）超市以上的居民住房采光是否有影响，影响多高？ （2）若要使采光不受影响，两楼相距至少多少米？（结果保留根号） 　【答案】：解：（1）如图1所示： 过F点作FE⊥AB于点E， ∵EF=15米，∠AFE=30°， ∴AE=5米， ∴EB=FC=（20﹣5）米． ∵20﹣5＞6， ∴超市以上的居民住房采光要受影响； （2）如图2所示：若要使超市采光不受影响，则太阳光从A直射到C处． ∵AB=20米，∠ACB=30° ∴BC===20米 答：若要使超市采光不受影响，两楼最少应相距20米． 7.如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG=4m，如果小明的身高为1.6m，求路灯杆AB的高度． 　 【答案】：解：∵CD∥EF∥AB， ∴可以得到△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG， ∴，， 又∵CD=EF， ∴， ∵DF=3，FG=4，BF=BD+DF=BD+3，BG=BD+DF+FG=BD+7， ∴， ∴BD=9，BF=9+3=12， ∴， 解得，AB=6.4m． 8.如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置． （1）在小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中，他在地面上的影子长度的变化情况为　　　　　　； （2）请你在图中画出小亮站在AB处的影子； （3）当小亮离开灯杆的距离OB=4.2m时，身高（AB）为1.6m的小亮的影长为1.6m，问当小亮离开灯杆的距离OD=6m时，小亮的影长是多