类型一 与锐角三角函数有关的实际应用-2021年《三步冲刺中考·数学》（陕西专用）之第2步大题夺高分

第二步 大题夺高分 类型一与锐角三角函数有关的实际应用 1. 日本福岛出现核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场检测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋的影响及时开展分析评估．如图上午9时,海检船位于A处，观测到某港口城市P位于海检船的北偏西67.5°，海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达B处，这时观测到城市P位于海检船的南偏西36.9°方向，求此时海检船所在B处与城市P的距离？（参考数据：sin36.9°≈ ，tan36.9°≈ ，sin67.5°≈ ，tan67.5°≈ ） 【答案】解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC=x海里． 　　　　在Rt△APC中，∵tan∠A= ，∴AC= ．…………2分 　　　　在Rt△PCB中，∵tan∠B= ，∴BC= ．…………4分 ∵AC＋BC=AB=21×5，∴ ，解得 ． 　　　　∵ ，∴ （海里）． 　　　　∴海检船所在B处与城市P的距离为100海里．………………6分 2. 如图，在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某军舰由东向西行驶．在航行到B处时，发现灯塔A在我军舰的正北方向500米处；当该军舰从B处向正西方向行驶至达C处时，发现灯塔A在我军舰的北偏东60°的方向.求该军舰行驶的路程．（计算过程和结果均不取近似值) 【答案】解：由题意可知，在Rt△ABC中，AB=500 ，∠ACB=90°－60°=30°， ∵ ∠ACB= , ∴BC= （ ）， ∴该军舰行驶的路程为 米. 3. 如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路。现新修一条路AC到公路l．小明测量出∠ACD=30°,∠ABD=45°,BC=50m．请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度（精确到0.1m；参考数据： ） 【解】设小明家到公路 的距离AD的长度为xm. 在Rt△ABD中， ∵∠ABD= ，∴BD=AD=x 在Rt△ABD中， ∵∠ACD= ，∴ ，即 解得 小明家到公路 的距离AD的长度约为68.2m. 4.汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C．测得PC=30米，∠APC=71°，∠BPC=35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90） 【答案】解：在Rt△APC中，AC=PCtan∠APC=30tan71°≈30×2.90=87， 在Rt△BPC中，BC=PCtan∠BPC=30tan35°≈30×0.70=21， 则AB=AC﹣BC=87﹣21=66， ∴该汽车的实际速度为=11m/s， 又∵40km/h≈11.1m/s， ∴该车没有超速． 5.如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D始终在一直线上，延长DE交MN于点F．已知AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，BD=40cm． （1）窗扇完全打开，张角∠CAB=85°，求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数； （2）窗扇部分打开，张角∠CAB=60°，求此时点A，B之间的距离（精确到0.1cm）． （参考数据：≈1.732，≈2.449） 【答案】解：（1）∵AC=DE=20cm，AE=CD=10cm， ∴四边形ACDE是平行四边形， ∴AC∥DE， ∴∠DFB=∠CAB， ∵∠CAB=85°， ∴∠DFB=85°； （2）作CG⊥AB于点G， ∵AC=20，∠CGA=90°，∠CAB=60°， ∴CG=，AG=10， ∵BD=40，CD=10， ∴CB=30， ∴BG==， ∴AB=AG+BG=10+10≈10+10×2.449=34.49≈34.5cm， 即A、B之间的距离为34.5cm． 6.如图，有一个三角形的钢架ABC，∠A=30°，∠C=45°，AC=2（+1）m．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门？ 【答案】解： 工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门， 理由是：过B作BD⊥AC于D， ∵AB＞BD，BC＞BD，AC＞AB， ∴求出DB长和2.1m比较即可， 设BD=xm，