专题34 随机变量及其分布（解答题）-2021年高考数学（理）二轮复习热点题型精选精练

专题34 随机变量及其分布（解答题） 1．太阳能热水器因节能环保而深受广大消费者的青睐，但它也有缺点——持续阴天或雨天便无法正常使用.为了解决这一缺陷，现在的太阳能热水器水箱上都安装了辅助电加热器，如果天气不好或冬季水温无法满足需要时，就可以通过辅助电加热器把水温升高，方便用户使用.某工厂响应“节能减排”的号召，决定把原来给锅炉加热的电热水器更换成电辅式太阳能热水器.电辅式太阳能热水器的耗电情况受当天的日照时长和日均气温影响，假设每天的日照情况和日均气温相互独立，该电辅式太阳能热水器每日耗电情况如下表所示： 日照情况 日均气温不低于15℃ 日均气温低于15℃ 日照充足 耗电0千瓦时 耗电5千瓦时 日照不足 耗电5千瓦时 耗电10千瓦时 日照严重不足 耗电15千瓦时 耗电20千瓦时 根据调查，当地每天日照充足的概率为，日照不足的概率为，日照严重不足的概率为.2020年这一年的日均气温的频率分布直方图如图所示，区间分组为，，，，，. （1）求图中的值，并求一年中日均气温不低于15℃的频率； （2）用频率估计概率，已知该工厂原来的电热水器平均每天耗电20千瓦时，试估计更换电辅式太阳能热水器后这一年能省多少电？（一年以365天计算） 【试题来源】广东省揭阳市2021届高三下学期教学质量测试 【答案】（1），；（2）千瓦时. 【解析】（1）依题意得. 一年中日均气温不低于15℃的频率为. （2）这一年中日均气温不低于15℃的概率的估计值为，一年中日均气温低于15℃的概率的估计值为， 设使用电辅式太阳能热水器日均耗电量为， 的所有可能取值为0，5，10，15，20， ，， ，， .所以的分布列为 0 5 10 15 20 所以的数学期望 所以使用电辅式太阳能热水器一天节省的电量为（千瓦时） 所以使用电辅式太阳能热水器一年节省的电量为（千瓦时） 2．雅言传承文明，经典滋润人生，中国的经典诗文是中华民族精神文明的重要组成部分，近年来某市教育局积极推广经典诗文诵读活动，致力于营造“诵读国学经典，积淀文化底蕴”的书香校园，引导广大学生熟悉诗词歌赋，亲近中华经典，感悟中华传统文化的深厚魅力，丰厚学生的人文积淀，该市教育局为调查活动开展的效果，对全市参加过经典诗文诵读活动的学生进行了测试，并从中抽取了1000份试卷，根据这1000份试卷的成绩(单位：分，满分100分)得到如下频数分布表. 成绩/分 频数 40 90 200 400 150 80 40 （1）求这1000份试卷成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表). （2）假设此次测试的成绩服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的近似值为6.61，以样本估计总体，假设有84.14%的学生的测试成绩高于市教育局预期的平均成绩，则市教育局预期的平均成绩大约为多少(结果保留一位小数)？ （3）该市教育局准备从成绩在内的120份试卷中用分层抽样的方法抽取6份，再从这6份试卷中随机抽取3份进行进一步分析，记为抽取的3份试卷中测试成绩在内的份数，求的分布列和数学期望. 参考数据：若，则，，. 【试题来源】2021年新高考测评卷数学（第一模拟） 【答案】（1）；（2）75.5分；（3）分布列答案见解析，数学期望：. 【分析】（1）利用平均数的计算公式即可求解； （2）利用正态分布的概率分布即可求解； （3）先利用分层抽样的方法求出抽取的6份试卷中成绩在和内的份数，然后求出的所有可能取值及每个取值对应的概率，最后写出的分布列及数学期望. 【解析】（1）由频数分布表 . （2）由题意得， 且， 又，故市教育局预期的平均成绩大约为75.5分. （3）利用分层抽样的方法抽取的6份试卷中成绩在内的有4份，成绩在内的有2份，故的所有可能取值为0，1，2， 且，，， 所以得分布列为 0 1 2 数学期望. 【名师点睛】求离散型随机变量的分布列的步骤：（1）理解的意义，写出的所有可能取值；（2）求取每个值的概率；（3）写出的分布列；（4）根据分布列的性质对结果进行检验. 3．2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，自2021年1月1日起施行.《中华人民共和国民法典》被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第-部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法，为了增强学生的法律意识，了解法律知识，某校组织全校学生进行学习《中华人民共和国民法典》知识竞赛，从中随机抽取名学生的成绩(单位：分)统计得到如下表格： 成绩 性别 男 女 规定成绩在