第一章第 14 课时 三角函数模型的简单应用-【聚焦新课程】高中数学优质课堂（人教版必修4）

40　　　 第 14 课时 　 三角函数模型的简单应用 【三点导视】 重点:三角函数的应用. 难点:构造三角函数的模型. 考点:以三角函数为载体的应用题. 【要点导学】 1. 如果某种变化着的现象具有　 周期性　 ,那么它就可以借助三角函数来描述. 2. 具体的,我们可以利用搜集到的数据,作出相应的　 散点　 图,通过观察　 散点　 图并进行函数拟合 而获得具体的　 函数模型　 ,最后利用这个　 函数模型　 来解决相应的实际问题. 　 图 14-1 【精题导析】 例 1　 如图,质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位置为 P0( 2 ,- 2 ) , 角速度为 1,那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为( 　 　 ). 图 14-2 [思路分析]　 借助图中提供的信息,结合 P 点运动的位置,写出距离 d 与时间 t 之间的关系. [随堂热身] 解:由题意知:P(2cos(t- π 4 ),2sin(t- π 4 )),P 点到 x 轴的距离为 d = | y0 | = 2 | sin(t- π 4 ) | 当 t = 0 时,d = 2 ,当 t = π 4 时,d = 0　 故选 C. 图 14-3 [思考领悟]　 当质点从 P0 运动到 P 处,P 点的坐标如何表示? 例 2　 如图 14-3,某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y = Asin(ωx+φ) +b. ( 1) 求这段时间的最大温差; ( 2) 写出这段曲线的函数解析式. [思路分析]　 这是形如 y = Asin(ωx+φ) +b 的函数图象,A,ω,φ 值的确定, 分别由最高、最低点、周期和点的坐标来确定. b 的大小是图象的最大值与最小值的平均值. 41　　　 [过程互动]　 ( 1) 由图示,这段时间的最大温差是　 30-10 = 20　 ℃ ; ( 2) 图中从 6 时到 14 时的图象是函数 y = Asin(ωx+φ) +b 的半个周期的图象. ∴ 1 2 · 2π ω = 　 8　 ,解得 ω = 　 π 8 　 , 由图示 A = 　 10　 ,b = 　 20　 ,将 x = 6,y = 10 代入上式可取 φ = 　 3 4 π　 . 综上所求的解析式为 y = 　 10sin( π 8 x+ 3 4 π) +20　 ,x∈　 [6,14]　 . [思考领悟]　 ( 1) 在求 b 时,是否可以先求 y = Asin( ωx+φ) ,然后将 y = Asin( ωx+φ) 沿 y 轴向上平移 20 个单位呢? ( 2) 在 y = Asin(ωx+φ) +b 中, T 2 = 14-6　 ∴ ω = π 8 ,由 y = 10sin( π 8 x+φ) +b,对于 φ 与 b 的大小,能够用图 象过其中的两点,采用坐标代入计算得到吗? 特别是计算的 φ 值,一定要和实际背景的图象相符合. 【探究导引】 例 3　 [问题提出]　 已知某海滨浴场的海浪高度 y( 米) 是时间 t( 0≤t≤24,单位小时) 的函数,记作 y = f (t) ,下表是某日各时的浪高数据: t 时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 米 1. 5 1. 0 0. 5 1. 0 1. 5 1 0. 5 0. 99 1. 5 　 　 经长期观测,y = f(t) 的曲线可近似地看成是函数 y = Acosωt+b. [合作探究]　 ( 1) 根据以上数据,求函数的最小正周期 T,振幅 A 及函数表达式; ( 2) 依据规定,当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放. 由( 1) 的结论,判断一天内的 上午 8:00 时至晚上 20:00 时之间,有多少时间可供冲浪者进行运动? 解:(1)由表知 T = 12,∴ ω = 2π T = π 6 由 t = 0,y = 1. 5,得 A+b = 1. 5　 由 t = 3,y = 1. 0,得 b = 1. 0　 所以 A = 0. 5,b = 1, ∴ A = 1 2 　 ∴ y = 1 2 cos π 6 t+1(0≤t≤24) (2)由题知,当 y>1 时才可对冲浪者开放. ∴ 1 2 cos π 6 t+1>1,∴ cos π 6 t>0 ∴ 2kπ- π 2 < π 6 t<2kπ+ π 2 (k∈Z) 即 12k-3<t<12k+3　 因为 0≤t≤24,故 k 分别为 0,1,2,得 0≤t<3 或 9<t<15 或 21<t≤24 所以在规定时间内,有 6 个小时可供冲浪者运动,即上午 9:00 到下午 15:00. [发现问题]　 ( 在( 1) 中,也可以首先根据数据关系,描出海浪高度与时间的函数大致图象,再通过函数