第二章第 15 课时 向量的概念与几何表示-【聚焦新课程】高中数学优质课堂（人教版必修4）

49　　　 第 15 课时 　 向量的概念与几何表示 【三点导视】 重点:理解平面向量的含义,理解向量的几何表示. 难点:理解平面向量的含义. 考点:了解向量的实际背景,理解平面向量的含义和表示方式. 【要点导学】 1. 数学中,我们把既有　 大小　 ,又有　 方向　 的量叫做向量. 2. 具有　 方向　 的线段叫做有向线段. 有向线段包含三个要素:　 起点　 、　 方向　 、　 长度　 . 3. 向量可以用有向线段表示,向量 AB → 的大小,也就是　 向量 AB → 的长度　 ( 或称　 模　 ) ,记作　 | AB → | 　 . 　 长度为 0　 的向量叫做零向量,记作　 0　 . 　 长度等于 1 个单位　 的向量,叫做单位向量,向量也可以用 字母 a,b,c,…表示. 4. 方向　 相同　 或　 相反　 的　 非零　 向量叫做平行向量. 向量 a、b 平行,记作　 a∥b　 . 规定:零向量 与　 任一向量　 平行,记为 0∥a. 图 15-1 【精题导析】 例 1　 质量为 5kg 的物体静止地停在倾斜角为 30°的斜坡上,用 1cm 的长度表 示 10N,试作出物体的受力示意图( 已知重力加速度 g = 10m / s2 ). [思路分析]　 物体受重力 p,支持力 h,静摩擦力 f,首先计算这三个力的大小, 注意力的方向. 用有向线段分别表示三个力. [随堂热身] 解: | p | = 50N, | h | = 25 3 ≈43. 3N | f | = 25N,受力的示意图如图所示 [思考领悟]　 物理中基本量比如力、位移、磁场力、电场力、速度、加速度、冲量、力矩、磁场强度、电场强 度等都可概括为向量. 用有向线段表示向量一是方向要确定,二是有向线段的长度要确定,只有大小和方向 都确定之后向量才能确定,二者缺一不可. 50　　　 图 15-2 例 2　 如图 15 - 2,已知矩形 ABCD 中,AB = 2,BC = 3,E 为 BC 边上一个三等分 点,一质点从 A 点出发沿直线射到 BC 上的点 E,依次反射到 CD、DA 上的点 F,G. ( 1) 作出点 A 到点 E,F,G 的位移; ( 2) 求 | AF → | 和 sin∠FAD 的大小; ( 3) 判断向量 AE → 与 FG → 是否为平行向量. [思路分析]　 由已知 AE 的入射角为 45°,所以它的反射角也是 45°,从而可知 CE = CF = FD = DG = 1. [过程互动]　 ( 1) 画出向量 AE → ,AF → ,AG → 就分别表示点 A 到点 E,F,G 的位移. ( 2) ∵ AB = BE　 ∴ ∠1 = 45°　 ∵ 又 AE 是入射线,EF 是反射线 ∴ ∠2 = ∠1 = 45°　 又∵ ∠EFC = ∠GFD = 45° ∴ CE = CF = FD = 1　 ∴ | AF → | = 　 10 　 ,sin∠FAD = 　 10 10 　 ( 3) ∵ ∠FGD = 90° -∠GFD = 90° -45° = 45°　 ∴ 　 ∠EAD　 = 　 ∠FGD　 　 ∴ AE → 　 ∥　 FG → [思考领悟]　 位移与质点运动的路程无关,仅与起点和终点的相对位置有关,因此一个质点从点 A 到 点 B 的位移就是向量 AB → . 图 15-3 【探究导引】 例 3　 [问题提出]　 如图 15-3,单位圆的中心为坐标系的原点 O,☉O 与 x 轴 正半轴相交于点 A,质点 P 从点 A 处出发沿圆周逆时针匀速运动,t 秒钟转过的角 为 π 3 t,t∈[ 0,6]. [合作探究]　 ( 1) 当 t = 1 时,点 P 运动到点 B 处,则点 A 到点 B 的位移 AB → 是 否为单位向量? 解:当 t = 1 时,由于∠BOA = π 3 , | OA → | = | OB → | = 1 ∴ | AB → | = 1　 ∴ AB → 是单位向量 ( 2) 当 t 取何值时,向量 OP → 与第( 1) 问中的向量 AB → 是平行向量? 解:当 t = 2 或 5 时,OP → ∥AB → ( 3) 当 t = 2 时,求点 A 到点 P 的位移. 解: | AP → | = 3 [发现问题]　 ( 比如当 t 秒钟点 P 转过的角为 π 4 t 时,研究上述类似的问题. ) 【方法导拨】 1. 向量的物理背景主要是力和位移,学习向量的概念要联系学过的物理知识和方法. 2. 向量可以用有向线段表示,也可以用一个字母来表示,其关键在于不要忽视向量的方向. 51　　　 3. 0 的方向是任意的,0 和任意向量都平行,而 0 是数量不是向量,只是 | 0 | = 0. $