第二章第 19 课时 向量数乘运算及其几何意义(1)-【聚焦新课程】高中数学优质课堂（人教版必修4）

61　　　 第 19 课时 　 向量数乘运算及其几何意义(1) 【三点导视】 重点:向量的数乘运算及其几何意义. 难点:向量的数乘概念的理解. 考点:掌握向量数乘的运算及其意义. 【要点导学】 1. 规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作 λa,它的长度与方向规定如 下:( 1) | λa | = 　 | λ | | a | 　 ;( 2) 当 λ>0 时,λa 的方向与 a 的方向　 相同　 ;当 λ< 0 时,λa 的方向与 a 的方 向　 相反　 ;当 λ = 0 时,λa = 　 0　 . 2. 设 λ,μ∈R,和向量 a,b,向量数乘满足的运算律: ( 1)λ(μa) = 　 (λμ)a　 ; ( 2) (λ+μ)a = 　 λa+μa　 ; ( 3)λ(a+b) = 　 λa+λb　 . 特别地,我们在( -λ)a = -( 　 λa　 ) = λ( 　 -a　 ) ,λ(a-b) = 　 λa-λb　 . 【精题导析】 图 19-1 例 1　 如图 19-1,▱ABCD 中,M、N 分别是 AD、AB 的中点,已知 AD → = a,AB → = b, 求 CM → ,CN → . [思路分析]　 在△CDM 中,由 CD → = -b,DM → = - 1 2 a,来计算 CM → ,同理求 CN → . [随堂热身]　 解:CM → = - 1 2 a-b,CN → = -a- 1 2 b [思考领悟]　 若点 M,N 分别是 AD 和 AB 的三等分点时,也可以作类似的计算,一般地,已知 AB → = b,N 62　　　 是线段 AB 上的定点,则存在 λ、μ 使 AN → = λb,BN → = μb,λ、μ∈R. 例 2　 已知 a = x+4y,b = 2x-3y,试用 a,b 来表示 x、y. [思路分析]　 由 a = x + 4y 得 x = a - 4y,代入另一个等式,运用向量数乘的运算律解出向量 y,再代入 求 x. [过程互动]　 由 a = x+4y 得 x = a-4y,代入 b = 2x-3y 得 b = 2(a-4y) -3y ∴ b = 2a-　 11. 8y-3y　 　 ∴ y = 　 2 11 　 a-　 1 11 　 b　 ∴ x = a-4y = 　 3 11 a+ 4 11 b　 . [思考领悟]　 根据向量数乘所满足的运算律,用代入消元或加减消元,可仿照解二元一次方程组的方 法来求解. 【探究导引】 图 19-2 例 3　 [问题提出]　 如图 19-2,在▱ABCD 中,已知 AB → = p,AD → = q,AE → = λp, λ∈R,设直线 DE 与直线 BC 相交 F. [合作探究]　 当 λ = 3 时,求 AF → +EC → . 解:-p+ 5 3 q [发现问题] 　 ( 比如取 λ = - 3,找出点 E 和 F,再看 AF → +EC → 计算的结果有什么变化, 或探索 λ = 1 2 时情况. ) 【方法导拨】 1. 如图 19-3,对于实数 λ 和非零的向量 a,λa 是一个向量,取一个起点 O,OP → = λa,当 λ 变化时,点 P 的 轨迹是一条直线 l,且与 AB 平行,对于一个确定的实数 λ,则在 l 上就有一个惟一确定的点 P. 图 19-3 2. 根据向量数乘的定义,当 a = 0 时,λa = 0,其中 λ 是任意实数. 63　　　 3. 实数与向量积的运算与代数运算中实数乘法的运算律相似,用运算律可化简向量数乘及和、差的 运算. $