专题03三角恒等变换与解三角形-2021年高考数学（理）三角函数与解三角形二轮突破提升

《2021年数学（理）三角函数与解三角形二轮突破提升》 专题0３ 三角恒等变换与解三角形 【考情分析】　1.三角恒等变换的求值、化简是命题的热点，利用三角恒等变换作为工具，将三角函数与解三角形相结合求解最值、范围问题. 　　　　　　　2.单独考查可出现在选择题、填空题中，综合考查以解答题为主，中等难度． 考点一　三角恒等变换 重点热点 1．三角求值“三大类型” “给角求值”“给值求值”“给值求角”． 2．三角恒等变换“四大策略” (1)常值代换：常用到“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等． (2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化． 例1　(1)(2020·威海模拟)已知sin(β－α)cos β－cos(α－β)sin β＝，α为第三象限角，则cos等于(　　) A．－ 　　B．－ 　　 C. 　　D. 【答案】　A 【解析】　因为sin(β－α)cos β－cos(α－β)sin β＝， 所以sin(β－α－β)＝，即sin α＝－. 由α为第三象限角知，cos α＝－. 所以cos＝cos αcos －sin αsin ＝(cos α－sin α)＝＝－. (2)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β等于(　　) A. 　　B. 　　C. 　　 D. 【答案】　C 【解析】　因为α，β均为锐角，所以－<α－β<. 又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝. 又sin α＝，所以cos α＝， 所以sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝×－×＝. 所以β＝. 易错提醒　(1)公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况． (2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解． 考点二　正弦定理、余弦定理 重点热点 1．正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等． 2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A. 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝. 3．三角形的面积公式：S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. 考向1　求解三角形中的角、边 例2　(2020·青岛模拟)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tan A)． (1)求角C； (2)若c＝2，D为BC的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度． 条件①：△ABC的面积S＝4且B>A； 条件②：cos B＝. 【解析】(1)在△ABC中，由余弦定理知， b2＋c2－a2＝2bccos A， 所以2b2＝2bccos A(1－tan A)， 所以b＝c(cos A－sin A)， 又由正弦定理知，＝， 得sin B＝sin C(cos A－sin A)， 所以sin(A＋C)＝sin C(cos A－sin A)， 即sin Acos C＋cos Asin C＝sin Ccos A－sin Csin A， 所以sin Acos C＝－sin Csin A， 因为sin A≠0，所以cos C＝－sin C， 所以tan C＝－1， 又因为0<C<π，所以C＝. (2)选择条件②，cos B＝， 因为cos B＝，且0<B<π，所以sin B＝， 因为sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋sin Ccos B ＝×＋×＝， 由正弦定理知＝， 所以a＝＝＝2， 在△ABD中，由余弦定理知 AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos B＝(2)2＋()2－2×2××＝26， 所以AD＝. (答案不唯一) 考向2　求解三角形中的最值与范围问题 例3　已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝120°. (1)若a＝2b，求tan A的值； (2)若∠ACB的平分线交AB于点D，且CD＝1，求a＋b的最小值． 【解析】　(1)方法一　由a＝2b及正弦定理，知sin A＝2sin B， 即sin A＝2sin(60°－A)， ∴sin A＝cos A－sin A， ∴tan A＝. 方法二　∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝4b2＋b2－2×2b×b×＝7b2，∴c＝b， ∴cos A＝＝＝， ∴sin A＝＝＝， ∴tan