专题09 排列、组合与二项式定理-备战2021年高考数学二轮复习题型专练（新高考专用）

专题09 排列、组合与二项式定理 【要点提炼】 1.分类加法计数原理 做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法.则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法，……，做第n个步骤有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法. 3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事. 4.排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素 按照一定的顺序排成一列 组合 合成一组 5.排列数与组合数 (1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数. (2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数. 6.排列数、组合数的公式及性质 公式 (1)Aeq \o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq \f(n！,（n－m）！). (2)Ceq \o\al(m,n)＝m,n)eq \f(A,Aeq \o\al(m,m)) ＝eq \f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！) ＝eq \f(n！,m！（n－m）！)(n，m∈N+，且m≤n).特别地Ceq \o\al(0,n)＝1 性质 (1)0！＝1；Aeq \o\al(n,n)＝n！. (2)Ceq \o\al(m,n)＝Ceq \o\al(n－m,n)；Ceq \o\al(m,n＋1)＝Ceq \o\al(m,n)＋Ceq \o\al(m－1,n) 【方法指导】 1、解决简单的排列与组合的综合问题的思路 根据条件将要完成事件先分类； 对每一类型取出符合要求的元素组合，再对取出的元素排列； 由分类加法计数原理计算总数。 2、特殊元素分析法和特殊位置分析法是解决排列组合问题的最有力的方法： 元素优先法：先考虑有限制条件的元素，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置，再考虑其他位置； 3、求排列、组合问题的一般思路为：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘。 4、求解形如 的展开式问题的思路： 若 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如 ，然后展开分别求解； 观察 是否可以合并，如； ; 分别得到 的通项公式，综合考虑。 利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值（包括符合）； 在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符合，然后将绝对值去掉，再进行赋值。 命题点一 会解决简单的排列或组合问题 【典例1】（2021·广东揭阳市·高三一模）某学校有东、南、西、北四个校门，受新冠肺炎疫情的影响，学校对进入四个校门做出如下规定：学生只能从东门或西门进入校园，教师只能从南门或北门进入校园.现有2名教师和3名学生要进入校园（不分先后顺序），请问进入校园的方式共有（ ） A．6种 B．12种 C．24种 D．32种 【答案】D 【分析】 先分别确定学生进入校园的方式和教师进入校园的方式；再用分步乘法原理求得答案. 【详解】 因为学生只能从东门或西门进入校园， 所以3名学生进入校园的方式共 种. 因为教师只可以从南门或北门进入校园， 所以2名教师进入校园的方式共有 种. 所以2名教师和3名学生要进入校园的方式共有 种情况. 故选：D 【方法总结】 解决简单的排列与组合的综合问题的思路 根据条件将要完成事件先分类； 对每一类型取出符合要求的元素组合，再对取出的元素排列； 由分类加法计数原理计算总数。 【拓展练习】 1、（2021·湖北高三一模）当前，新冠肺炎疫情进入常态化防控新阶段，防止疫情输入的任务依然繁重，疫情防控工作形势依然严峻、复杂.某地区安排 五名同志到三个地区开展防疫宣传活动，每个地区至少安排一人，且 两人安排在同一个地区， 两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为（ ） A．86种 B．64种 C．42种 D．30种 【答案】D 【分析】 分两类①当两个地区各分2人另一个地区分1人，②当两个地区各分1人另一个地区分3人结合排列组合知识得出答案. 【详解】 ①当两个地区各分2人另一个地区分1人时，总数有 种； ②当两个地区各分1人另一个地区分3人时，总数有 种. 故满足条件的分法共有 种. 故选：D 【