专题08 空间向量在立体几何中的应用-备战2021年高考数学二轮复习题型专练（新高考专用）

专题08 空间向量在立体几何中的应用 【要点提炼】 1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)，则 (1)线面平行 l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. (2)线面垂直 l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2. (3)面面平行 α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3. (4)面面垂直 α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0. 2.直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算 设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同). (1)线线夹角 设l，m的夹角为θ，则 cos θ＝)). ＋c＋b)\r(a＋c＋b＝ (2)线面夹角 设直线l与平面α的夹角为θ，则 sin θ＝|cosa，μ|＝. (3)面面夹角 设平面α，β的夹角为θ(0≤θ＜π)， 则|cos θ|＝|cosμ，v|＝. 【方法指导】 1、用向量法解决空间中相关问题，具体步骤为： （1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内； （2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错. （3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量. （4）利用法向量求距离、线面角或二面角. 2、二面角的求解主要有两种方法： 一是几何法，根据几何体的结构特征与线面位置关系作出二面角的平面角，然后转化为解三角形问题求解； 二是向量法，直接利用二面角的两个半平面的法向量的夹角表示所求.前者的计算量小，但在确定二面角的平面角的过程中需要利用线面位置关系进行逻辑推理；后者计算量大，但逻辑推理的过程很少. 3、求解直线与平面所成角的方法： （1）、定义法：根据直线与平面所成角的定义，结合垂线段与斜线段的长度比求得线面角的正弦值； （2）、向量法：分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个向量方法向量的夹角（或补角）； （3）、法向量法：求出斜线的方向向量和平面的法向量所夹的锐角，取其余角即为斜线与平面所成的角. 4、利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 5、一般地，对于探索性问题的解答方法如下: （1）可先假设所求的点存在，合理设元； （2）然后建立空间直角坐标系，标出各点的坐标，求出直线的方向向量、面的法向量等；（3）结合已知条件列出有关线面夹角、面面夹角成立的含参方程； （4）解方程，得出参数的值即可。 命题点一 会利用空间向量求异面直线所成的角或直线和平面所成的角 【典例1】（1） （2021·全国高三专题练习（文））在正方体 中，下列四个结论中错误的是（ ） A．直线 与直线 所成的角为 B．直线 与平面 所成的角为 C．直线 与直线 所成的角为 D．直线 与直线 所成的角为 【答案】B 【分析】 连接 ，求出 可判断选项A；连接 找出点 在平面 的投影O，设直线 与平面 所成的角为θ，由 可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解． 【详解】 连接 ∵ 为等边三角形，∴ ，即直线 与 所成的角为60°，故选项A正确； 连接 ，∵ ，∴四面体 是正四面体， ∴点 在平面 上的投影为 的中心，设为点O，连接 ， ，则 ， 设直线 与平面 所成的角为θ， 则 ，故选项B错误； 连接 ，∵ ，且 ，∴直线 与 所成的角为90°，故选项C正确； ∵ 平面 ，∴ ，即直线 与 所成的角为90°，故选项D正确． 故选：B． （2）（2021·湖南长沙市·长郡中学高三二模）在四棱锥 中，底面ABCD是边长为 的正方形，平面 底面ABCD， . （1）求证： ； （2）点M，N分别在棱 ， ， ， ，求直线PB与平面DMN所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【分析】 （1）连接 ，设 ，连接 ，通过证明 可得； （2）以 为坐标原点，射线 的方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面DMN的法向量，利用向量法可求. 【详解】 （1）证明：连接 ，设 ，连接 ， 底面ABCD为正方形， ， ， 平面 底面 ， 平面 ， 底面ABCD， 底面ABCD， ， （2）以 为坐标原点，射线 的方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，