专题07 平行与垂直的证明-备战2021年高考数学二轮复习题型专练（新高考专用）

专题07 平行与垂直的证明 【要点提炼】 1.直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. (2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. (3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β. (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. 2.直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α. (2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β. (4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β. 【方法指导】 1、解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中。 2、垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下： （1）证明线线平行常用方法：一是利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证明线线平行；四是利用三角形的中位线定理证明线线平行、面面平行的性质定理进行平行转换。 （2）证明线线垂直常用方法：一是利用等腰三角形底边中线即高线的性质；二是勾股定理；三是线面垂直、面面垂直的性质定理。 3、解决与折叠有关的问题的关键是搞清楚折叠前后的变换量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口。一般的，翻折后还在同一个平面上的图形的性质不发生变化，不在同一平面上的图形的性质会发生变化。 4、在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形，善于将折叠后的量放在原平面图形中进行分析求解。 命题点一 会判定空间中线、面的位置关系 【典例1】（1）（多选题）（2021·江苏高三一模）已知m，n是两条不重合的直线， ， 是两个不重合的平面，则（ ） A．若 ， ，则 B．若 ， ，则 C．若 ， ， ，则 D．若 ， ， ，则 【答案】BC 【分析】 根据直线平面的位置关系判断各选项． 【详解】 ， 时， 可以相交、平行、或异面，A错； 时， 内必 ，而 ，则 ，从而 ，B正确； ， ，则 ，又 ，∴ ，C正确； ， ， ， 可以相交、平行、或异面，D错． 故选：BC． （2）（2020·江苏省南通中学高三一模）如图，在透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法中正确的是（ ） A．水的部分始终呈棱柱状； B．水面四边形EFGH的面积不改变； C．棱A1D1始终与水面EFGH平行； D．当E∈AA1时，AE＋BF是定值． 【答案】ACD 【分析】 从棱柱的特征平面可判断A；由水是四棱柱或者五棱柱时或者三棱柱时可判断B； 由 平面 ，棱 可判断C；由体积是定值，高 为定值，则底面积 为定值，可判断D. 【详解】 由于BC固定，所以倾斜的过程中，始终有AD EH FG BC， 且平面AEFB 平面DHGC，故水的部分始终呈现棱柱状（三棱柱、四棱柱、五棱柱）； 当水是四棱柱或者五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等，当水是三棱柱时，则水面四边形 的面积可能变大，也可能变小，水面的面积改变； BC为棱柱的一条侧棱，随着倾斜度的不同， 但水的部分始终呈棱柱状， 且棱 平面 ，棱 ，∴ 平面 ； ∵体积是定值，高 为定值，则底面积 为定值， 即 为定值， 综上ACD正确． 故选：ACD. 【点睛】 方法点睛：本题考查了线面平行的判定、棱柱的结构特征，对于证明线线关系，线面关系，面面关系等方面的问题，必须在熟练掌握有关的定理和性质的前提下，再利用已知来进行证明，对于棱柱的结构特征要非常熟悉. 【方法总结】 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中。 【拓展练习】 1、（多选题）（2020·福建莆田市·高三其他模拟）在空间中，已知a，b是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列选项中正确的是（ ） A．若 ，且， ， ，则 B．若 ，且 ， ，则 C．若a与b相交，且 ， ，则 与 相交 D．若 ，且 ， ，则 【答案】AC 【分