专题06 空间几何体的表面积与体积-备战2021年高考数学二轮复习题型专练（新高考专用）

专题06 空间几何体的表面积与体积 【要点提炼】 1.空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体、球的表面积公式： ①圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)； ②圆锥的表面积S＝πr(r＋l)； ③圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)； ④球的表面积S＝4πR2. (2)柱体、锥体和球的体积公式： ①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)； ②V锥体＝eq \f(1,3)Sh(S为底面面积，h为高)； ③V球＝eq \f(4,3)πR3. 2.球的简单组合体中几何体度量之间的关系，如棱长为a的正方体的外接球、内切球、棱切球的半径分别为eq \f(\r(3),2)a，eq \f(a,2)，eq \f(\r(2),2)a. 【方法指导】 1、由几何体的三视图求其表面积 （1）分析三视图，确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小； （2）还原几何体的直观图，套用相应的面积公式。 2、求空间几何体表面积的常见类型及思路： （1）求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积； （2）求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系； （3）求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积； （4）由三视图求几何体的表面积：关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小，然后还原几何体的直观图，套用公式求解. 3、求空间几何体的体积的求法： （1）公式法：对于规则的几何体的表面积和体积，可直接利用公式进行求解； （2）割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积的计算，或不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算； （3）等体积法：等体积法也称积转化或等积变形，通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决锥体的体积，特别时三棱锥的体积. 4、解答多面体与球的组合体内接与外接问题的策略： （1）几何体的外接球和内切球问题，其解题关键在于确定球心在几何体中的位置，找到球的半径或直径与几何体相关元素之间的关系，结合原有几何体的特征求出球的半径.常见的方法是将几何体还原到正方体或长方体中去求解. （2）球的截面问题，需理解两个基本性质：球的任何一个截面都是圆面，球心和截面圆的圆心的连线垂直于截面，然后利用性质解三角形求出球的半径. 5、解决与球有关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解. 命题点一 会求空间几何体的表面积 【典例1】（1）（2020·四川泸州市·高三一模（理））下图为某旋转体的三视图，则该几何体的侧面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由三视图确定几何体为圆锥体，应用圆锥体侧面积公式求面积即可. 【详解】 由三视图知：几何体为底面半径为1，高为3的圆锥体， ∴其侧面展开为以底面周长为弧长，圆锥体母线长为半径的扇形， 故几何体的侧面积为 ， 故选：A （2）（2020·云南高三其他模拟（理））一个多面体的三视图如图所示，其正视图、侧视图都是全等的等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则其表面积为（ ） A． B．12 C． D． 【答案】A 【分析】 先根据三视图还原得到几何体的直观图，判定几何体为一条侧棱垂直于底面的倒立的四棱锥，结合三视图判定各侧面的形状，进一步计算可得表面积. 【详解】 根据三视图，可得立体图形如图所示： 其中底面 为正方形，边长为2， 侧棱 底面 ,侧面 , 都是直角边长为2的等腰直角三角形， 侧面 分别是以 和 为直角的直角三角形， 则 ． 故选：A． 【点睛】 本题考查由几何体的三视图求其表面积，还原几何体并判定各侧面的几何形状是关键，属基础题. 【方法总结】 1、由几何体的三视图求其表面积 （1）分析三视图，确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小； （2）还原几何体的直观图，套用相应的面积公式。 2、求空间几何体表面积的常见类型及思路： （1）求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积； （2）求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过