类型四 抛物线型问题-2021年中考数学二轮复习重难题型突破

类型四抛物线形问题 【典例1】已知平面直角坐标系（如图1），直线的经过点和点. （1）求、的值； （2）如果抛物线经过点、，该抛物线的顶点为点，求的值； （3）设点在直线上，且在第一象限内，直线与轴的交点为点，如果，求点的坐标. 【答案】：（1） （2）（3）（4,8） 【解析】：（1） ∵直线的经过点 ∴ ∴ ∵直线的经过点 ∴ ∴ （2）由可知点的坐标为 ∵抛物线经过点、 ∴ ∴， ∴抛物线的表达式为 ∴抛物线的顶点坐标为 ∴,, ∴ ∴ ∴ ∴ （3）过点作轴，垂足为点，则∥轴 ∵, ∴△∽△ ∴ ∵直线与轴的交点为点 ∴点的坐标为, 又， ∴， ∵ ∴, ∵∥轴 ∴ ∴ ∴ 即点的纵坐标是 又点在直线上 点的坐标为 【典例2】如图在直角坐标平面内，抛物线与y轴交于点A，与x轴分别交于点B（-1，0）、点C（3，0），点D是抛物线的顶点. （1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标； （2）联结AD、DC，求的面积； （3）点P在直线DC上，联结OP，若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标． 【答案】（1）（1，-4）（2）3（3）或 【解析】：（1） 点B（-1，0）、C（3，0）在抛物线上 ∴，解得 ∴抛物线的表达式为，顶点D的坐标是（1，-4） （2）∵A（0，-3），C（3，0），D（1，-4） ∴，， ∴ ∴ ∴ （3）∵，， ∴△CAD∽△AOB，∴ ∵OA=OC， ∴ ∴，即 若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似 ，且△ABC为锐角三角形 则也为锐角三角形，点P在第四象限 由点C（3，0），D（1，-4）得直线CD的表达式是，设（） 过P作PH⊥OC，垂足为点H，则， ①当时,由得， ∴，解得， ∴ ②当时,由得， ∴，解得，∴ 综上得或 【典例3】已知抛物线经过点、、． （1）求抛物线的解析式； （2）联结AC、BC、AB，求的正切值； （3）点P是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P作交轴于点，当点在点的上方，且与相似时，求点P的坐标． 【答案】：（1）解得 点的坐标为或 【解析】：（1）设所求二次函数的解析式为，将（,）、（，）、（,）代入，得 解得 所以，这个二次函数的【解析】式为 （2）∵（,）、（，）、（,） ∴，， ∴ ∴ ∴ （3）过点P作，垂足为H 设，则 ∵（,） ∴， ∵ ∴当△APG与△ABC相似时，存在以下两种可能： ① 则 即 ∴ 解得 ∴点的坐标为 ② 则 即 ∴ 解得 ∴点的坐标为 【典例4】已知抛物线经过点A（1,0）和B（0,3），其顶点为D. （1）求此抛物线的表达式； （2）求△ABD的面积； （3）设P为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴 右侧，作PH⊥对称轴，垂足为H，若△DPH与△AOB相 似，求点P的坐标. 【答案】：（1）抛物线的表达式为（2）1（3）点P的坐标为（5,8），. 【解析】：（1）由题意得：， 解得：， 所以抛物线的表达式为. （2）由（1）得D（2，﹣1）， 作DT⊥y轴于点T, 则△ABD的面积=. （3）令P. 由△DPH与△AOB相似，易知∠AOB=∠PHD=90°， 所以或， 解得：或， 所以点P的坐标为（5,8），. 【典例5】平面直角坐标系xOy中（如图8），已知抛物线经过点A（1,0）和B（3,0）， 与y轴相交于点C，顶点为P． （1）求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标； （2）点E在抛物线的对称轴上，且EA=EC， 求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为 直线MN，点Q在直线MN右侧的抛物线 上，∠MEQ=∠NEB，求点Q的坐标． 【答案】：（1）P的坐标是（2，-1）（2）m=2（3），点E的坐标为（5，8） 【解析】：（1）∵二次函数的图像经过点A（1，0）和B（3，0）， 　　　　∴，解得：，． ∴这条