类型三 利润最值问题-2021年中考数学二轮复习重难题型突破

类型三利润最值问题 【典例1】将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价__元，最大利润为__________元． 【答案】：5元,625元 【解析】：设每件价格降价 元，利润为 元， 则： EMBED Equation.3 当 ， （元） 答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润． 【典例2】黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元． （1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？ （2）设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当11≤x≤19时，甲商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表： 销售单价x（元/件） 11 19 日销售量y（件） 18 2 请写出当11≤x≤19时，y与x之间的函数关系式． （3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是10、15元/件；（2）y＝﹣2x+40（11≤x≤19）．（3）当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元． 【解析】 【分析】 （1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a、b元/件，然后列出二元一次方程组并求解即可； （2）设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+b1，用待定系数法求解即可； （3）先列出利润和销售量的函数关系式，然后运用二次函数的性质求最值即可． 【详解】 解：（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a、b元/件，由题意得： ， 解得： ． ∴甲、乙两种商品的进货单价分别是10、15元/件． （2）设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+b1，将（11，18），（19，2）代入得： ，解得： ． ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+40（11≤x≤19）． （3）由题意得： w＝（﹣2x+40）（x﹣10） ＝﹣2x2+60x﹣400 ＝﹣2（x﹣15）2+50（11≤x≤19）． ∴当x＝15时，w取得最大值50． ∴当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元． 【点睛】 本题考查了二元一次方程组的应用、运用待定系数法则求函数解析式以及二次函数的性质求最值等知识点，弄懂题意、列出方程组或函数解析式是解答本题的关键． 【典例3】为倡导健康环保，自带水杯已成为一种好习惯，某超市销售甲，乙两种型号水杯，进价和售价均保持不变，其中甲种型号水杯进价为25元/个，乙种型号水杯进价为45元/个，下表是前两月两种型号水杯的销售情况： 时间 销售数量（个） 销售收入（元）（销售收入＝售价×销售数量） 甲种型号 乙种型号 第一月 22 8 1100 第二月 38 24 2460 （1）求甲、乙两种型号水杯的售价； （2）第三月超市计划再购进甲、乙两种型号水杯共80个，这批水杯进货的预算成本不超过2600元，且甲种型号水杯最多购进55个，在80个水杯全部售完的情况下设购进甲种号水杯a个，利润为w元，写出w与a的函数关系式，并求出第三月的最大利润． 【答案】（1）甲、乙两种型号水杯的销售单价分别为30元、55元；（2）w＝﹣5a+800，第三月的最大利润为550元． 【解析】 【分析】 （1）设甲种型号的水杯的售价为每个 元，乙种型号的水杯每个 元，根据题意列出方程组求解即可， （2）根据题意写出利润 关于 的一次函数关系式，列不等式组求解 的范围，从而利用一次函数的性质求利润的最大值． 【详解】 解：（1）设甲种型号的水杯的售价为每个 元，乙种型号的水杯每个 元，则 ① ②得： 把 代入①得： 答：甲、乙两种型号水杯的销售单价分别为30元、55元； （2）由题意得：甲种水杯进了 个，则乙种水杯进了 个， 所以： 又 由①得： ， 所以不等式组的解集为： 其中 为正整数，所以 随 的增大而减小， 当 时，第三月利润达到最大，最大利润为： 元． 【点睛】 本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用，掌握以上知识是解题的关键． 【典例4】“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求： （1）A型自行车去年每辆