解密05 导数及其应用（分层训练）-【高频考点解密】2021年高考数学（理）二轮复习讲义+分层训练

解密05导数及其应用 1．（2020·全国高考真题（理））若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ） A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+ 【答案】D 【详解】 设直线在曲线上的切点为，则， 函数的导数为，则直线的斜率， 设直线的方程为，即， 由于直线与圆相切，则， 两边平方并整理得，解得，（舍）， 则直线的方程为，即. 故选：D. 2．（2020·全国高考真题（理））函数的图像在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ，，，， 因此，所求切线的方程为，即. 故选：B. 3．（2019·全国高考真题（理））已知曲线在点处的切线方程为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 详解： ， 将代入得，故选D． 4．（2018·全国高考真题（理））函数的图像大致为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 函数过定点，排除， 求得函数的导数， 由得， 得或，此时函数单调递增，排除，故选D. 5．（2018·全国高考真题（理））曲线在点处的切线的斜率为，则________． 【答案】 【详解】 解： 则 所以 故答案为-3. 6．（2018·全国高考真题（理））曲线在点处的切线方程为__________． 【答案】 【详解】 7．（2018·全国高考真题（理））已知函数，则的最小值是_____________． 【答案】 【解析】 详解：，所以当时函数单调减，当时函数单调增，从而得到函数的减区间为，函数的增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是. 8．（2019·北京高考真题（理））设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________． 【答案】-1; . 【详解】 若函数为奇函数,则， 对任意的恒成立. 若函数是上的增函数,则恒成立,. 即实数的取值范围是 9．（2020·全国高考真题（理））设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直． （1）求b． （2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【详解】 （1）因为， 由题意，，即 则； （2）由（1）可得， ， 令，得或；令，得， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 且， 若所有零点中存在一个绝对值大于1的零点，则或， 即或. 当时，， 又， 由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点， 即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点， 此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾； 当时，， 又， 由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点， 即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点， 此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾； 综上，所有零点的绝对值都不大于1. 10．（2020·全国高考真题（理））已知函数. （1）当a=1时，讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围. 【答案】（1）当时，单调递减，当时，单调递增.（2） 【详解】 (1)当时，，， 由于，故单调递增，注意到，故： 当时，单调递减， 当时，单调递增. (2)由得，，其中， ①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意； ②.当时，分离参数a得，， 记，， 令， 则，， 故单调递增，， 故函数单调递增，， 由可得：恒成立， 故当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因此，, 综上可得，实数a的取值范围是. 11．（2020·全国高考真题（理））已知函数f(x)=sin2xsin2x. （1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性； （2）证明：； （3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤. 【答案】（1）当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【详解】 (1)由函数的解析式可得：，则： ， 在上的根为：， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增. (2)注意到， 故函数是周期为的函数， 结合(1)的结论，计算可得：， ，， 据此可得：，， 即. (3)结合(2)的结论有： . 12．（2019·全国高考真题（理））已知函数. （1）讨论的单调性； （2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)见详解；(2) 或. 【详解】 (1)对求导得.所以有 当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增； 当时，区间上单调递增； 当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增. (2)若在区间有最大值1和最小值-1，所以 若，区间上单调递增