数学-学科网2021年高三1月大联考（山东卷）（含考试版+全解全析+参考答案+答题卡）

学科网2021年高三1月大联考（山东卷） 数学·答案及评分标准 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 B A C B C A C A 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．ABD 10．AD 11．BC 12．ABD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．3 14．112 15． 16． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分） 【解析】因为 ，所以 ， 由正弦定理得 ，（1分） 又 ，所以 ，（2分） 所以 ， 即 ，（4分） 又因为 ，所以 ， 所以 ，得 .（6分） 若选择①，由 ，结合正弦定理得 ，（7分） 由余弦定理 ，得 ，得 ，（9分） 所以 .（10分） 若选择②，因为 ，所以 ，得 ，（7分） 由余弦定理 ，得 ， 则 ，（9分） 从而 或 .（10分） 若选择③，因为 ，且 ， 所以 ，即 ，（8分） 因为 ，所以 ，（9分） 则 ， 这与三角形的内角和等于 相矛盾，所以这样的三角形不存在.（10分） 18．（12分） 【解析】（1）令 ，则 ，得 ，（2分） 当 时， ，又 ， 以上两式相减得 ，（4分） 所以 ，由数列 的各项为正，可得 ， 所以数列 是以1为首项，2为公差的等差数列. 所以数列 的通项公式为 ．（6分） （2）由 得 ，又 ，则有 ，得 ， 由 知 且 ，（8分） 则集合A内所有元素的和 ．（11分） 所以集合A内所有元素的和T为3049．（12分） 19．（12分） 【解析】（1）由题意知，普查员甲抽取该小区5户用户中，“候鸟”户数为 ，正常户数为 ，（2分） 设A=“普查员甲到这5户中调查一次成功4户”， 则 ， 故普查员甲到这5户中调查一次成功4户的概率为 .（5分） （2）由题意，普查员甲到这2户“候鸟”户中调查一次成功的户数为 ，则 ， 可得 的分布列如下： 0 1 2 （7分） 普查员甲到这3户正常户中调查一次成功的户数为 ，则 ， 可得 的分布列如下： 0 1 2 3 （9分） 随机变量 ， 的可能取值为0，1，2，3，4，5． ， ， ， ， ， ，（10分） 则随机变量 的分布列为： 0 1 2 3 4 5 （11分） 所以数学期望 ．（12分） 20．（12分） 【解析】（1）在四棱锥 中，因为 平面 ，所以 ， ， 所以 为二面角 的平面角，所以 ，（2分） 又 ，所以 .（3分） 又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 .（5分） （2）存在点G为线段AB的中点.（6分） 设 ，取 的中点 ，以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则 ， ， ， ， 则 ， ， ，（7分） 设 ，得 ，所以 ，（8分） 设平面 的法向量为 ，则 ，即 ， 不妨令 ，可得 为平面 的一个法向量，（10分） 设直线 与平面 所成的角为 ， 则 ，解得 ， 所以当G为线段AB的中点时，直线 与平面 所成角的正弦值为 .（12分） 21．（12分） 【解析】（1）点 为椭圆C： 上一点，则 ，解得 ，（1分） 椭圆C的离心率 ，即 ，（2分） 又 ，得 ，所以椭圆C的方程为 ．（4分） （2）①直线 与椭圆C的位置关系为相切.（6分） ②由①知，椭圆C在点 ， 处的切线方程为 ， 椭圆C在点 ， 处的切线方程为 .（8分） 设点 EMBED Equation.DSMT4 ， ，则点 在直线 上，即 ， 且点 在直线 上，即 ， 所以直线 的方程为 ，（10分） 而 ，得 ，即 ， 由 解得 ， 所以直线AB过定点 ，此时 ． 所以直线AB上存在定点 EMBED Equation.DSMT4 ，使 ．（12分） 22．（12分） 【解析】（1）当 时， ，则 ， ，（2分） 所以 ， 所以曲线 在点 处的切线方程为 ．（4分） （2） ，定义域为 ，令 ， 因为 ，所以 在 上单调递增，（5分） 而 ， 若 ，则当x=0时， 恒成立，即 ，所以 ．（6分） 因为 ，（7分） 当 时，令 ，则 ， 所以 在 上单调递增，且 ， ， 所以存在 ，使得 ，（9分） 即 ， ， 所以，当 时， ， 在 上单调递减； 当 时， ， 在 上单调递增，（10分） 所以 EMBED Equation.DSMT