数学-学科网2021年高三3月大联考（广东卷）（含考试版+全解全析+参考答案+答题卡）

学科网2021年高三3月大联考（广东卷） 数学·参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 B B C A B B D A 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．AC 10．AD 11．ACD 12．BC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13． 14． 15．3 16． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分） 【解析】（1）由 得 ，（1分） 又 ，所以数列 是以6为首项，4为公差的等差数列.（4分） （2）由（1）得 ，（5分） 所以 ，（6分） 故 ，（7分） ，（8分） 由 易知 . 综上， .（10分） 18．（12分） 【解析】选条件①： 由 及正弦定理，得 .（4分） 因为在 中， ，所以 ， 所以 ，即 ，（8分） 又 ，所以 ，（10分） 又 ， ，所以不存在这样的三角形. 因此，选条件①时，问题中的三角形不存在.（12分） 选条件②： 由 及 ，得 ， 解得 或 （舍去）.（4分） 因为 成等差数列，所以 ， 所以 ，（6分） 又 ，所以 ， 由余弦定理，得 ，即 ，所以 .（10分） 由 ，解得 .故 为正三角形. 因此，选条件②时，问题中的三角形存在，且 .（12分） 选条件③： 由 ，得 ，即 ， 由 ，得 ，所以 ，所以 ，（6分） 由 的面积 ，得 .（8分） 由余弦定理，得 EMBED Equation.DSMT4 ， 所以 ，（10分） 从而 或 . 因此，选条件③时，问题中的三角形存在，且 或 .（12分） 19．（12分） 【解析】（1）由题可得 的观测值 ，（2分） 所以在犯错误的概率不超过 的前提下认为是否为“理性购物者”与性别有关．（4分） （2）由题可得，购物总金额在 内，优惠 （元）， 购物总金额在 内，优惠 （元），（5分） 则随机变量 的所有可能取值为 ， ， ，（6分） 且 ， ， ，（9分） 所以 的分布列为 （10分） 所以 ．（12分） 20．（12分） 【解析】（1）因为四边形 为矩形， 所以 ，所以 平面 .（1分） 又 平面 ，平面 与平面 的交线为 ，所以 .（3分） 因为 ，平面 平面 ，平面 平面 ， 所以 平面 ，所以 平面 .（5分） （2）设 的中点为 ， 的中点为G， 的中点为M，则 两两垂直，以O为坐标原点， 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），（6分） 设 ，则点 的坐标为 ，点 的坐标为 . 作 ，交 于点 ，在 中， ， 所以点 的坐标为 ，点 的坐标为 , 所以 .（8分） 设平面 的法向量为 ，则 ，即 ， 令 ，解得 ，所以平面 的一个法向量为 .（10分） 取平面 的一个法向量为 ， 因为二面角 的大小为 ，所以 ，即 ， 解得 （负值不合题意，已舍去），所以线段AF的长度为 .（12分） 21．（12分） 【解析】（1）设 ， ，因为 ，所以 ， 所以 ，又椭圆 的离心率为 ，所以 ，所以 ，所以 ，（2分） 所以椭圆 的标准方程为 ．（3分） （2）由（1）可知点 的坐标为 ，（4分） 设直线 的方程为 ， ， ， 将 代入 ，消去 可得 ， 则 ， ， ，（7分） 由 ，可得 ，即 ，（8分） 即 ，化简可得 ， 所以 ，所以 （舍去）或 ， 所以直线 的方程为 ，即 ， 当 时， ，所以直线 过定点 ．（10分） 因为 ，所以点 在以 为直径的圆上， 所以当点 为线段 的中点时，线段 的长为定值， 此时点 的坐标为 ，线段 的长为 ．（12分） 22．（12分） 【解析】（1）当 时， ， ，（1分） 则 ，令 ，则 恒成立，（2分） 所以函数 在 上单调递增，所以 ，（3分） 所以 ，所以函数 在 上单调递增，（4分） 所以函数 的最小值为 ．（5分） （2）由题可知当 且 时， 恒成立， 即 恒成立，（6分） 令 ， ， 则 ， ，所以 ， ， 又函数 与函数 的图象均过点 ，所以 ．（8分） 令 ，由（1）可知 ，且 ， 所以 ，（9分） 令 ，则 ，（10分） 令 ，则 ， 所以函数 在 上单调递增，所以 ，所以 ， 所以函数 在 上单调递增，所以 ，所以 ，（11分） 即 ，即 恒成立， 所以实数 的取值范围为 ．（12分） 数学 参考答案 第2页（共5页） $ 学科网2021年高三3月大联考（广东卷） 数 学·答题卡